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AP Calculus BC 微积分速成笔记

大部分都是 微积分 BC 的内容,其他内容看心情吧(发出咕咕咕的声音)

本笔记直接从 Notion 签出,大部分的 Calculus AB 部分内容没有整理,格式混乱,内容或有错误,仅供参考
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AP 各学科「速成」笔记导览

Unit 1: Limits and Continuity 极限与连续

Limits 极限

  • 通用分析步骤

Determine the Existence of Limits 判断极限是否存在

  • \(1\) 的左极限(即从负方向靠近正方向): \(\lim\limits_{x \to 1^-} f(x)\)

  • \(1\) 的右极限(即从正方向靠近负方向): \(\lim\limits_{x \to 1^+} f(x)\)

  • 如果左右极限相等,极限存在,反之不存在:\(\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = c\)

  • 例题

Properties of Limits 极限的性质

  • 若存在极限 \(\lim\limits_{x \to c} f(x) = L\) 和极限 \(\lim\limits_{x \to c} g(x) = K\),则极限有如下性质
  • 数乘法则:\(\lim\limits_{x \to c} [bf(x)] = b \lim\limits_{x \to c} [f(x)] = bL\)
  • 加减法则:\(\lim\limits_{x \to c} [f(x)\pm g(x)] = \lim\limits_{x \to c} [f(x)] \pm \lim\limits_{x \to c} [g(x)] = L \pm K\)
  • 乘法法则:\(\lim\limits_{x \to c} [f(x)\cdot g(x)] = \lim\limits_{x \to c} [f(x)] \cdot \lim\limits_{x \to c} [g(x)] = L\times K\)
  • 除法法则:\(\lim\limits_{x \to c} [\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{\lim\limits_{x \to c} [f(x)]}{\lim\limits_{x \to c} [g(x)]} = \frac{L}{K}, \;\;i.e.\; K \neq 0\)
  • 幂法则:\(\lim\limits_{x \to c} [f(x)^n] = \lim\limits_{x \to c} [f(x)]^n = L^n\)
  • 极限链式(复合函数)法则:\(\lim\limits_{x \to c} [f(g(x))] = \lim\limits_{u\to\lim\limits_{x\to c}g(x)}f(u)\)

Algebraic Limits 代数极限

  • 通常使用因式分解等方法,将原式变换为可以直接带入的极限

Infinite Limits 无穷极限 (BC Only)

  • 计算无穷极限时,常考虑为渐近线
  • 对于多项式除法渐近线的判断有如下规则:
    • 若存在多项式除法 \(\frac{p(x)}{q(x)}\),其中 \(m\)\(p(x)\) 的最高次项系数,\(n\)\(q(x)\) 的最高此项系数,则有:

\[\begin{cases} m > n & \text{no asymptote} \\ m = n & \text{asymptote: } \frac mn \\ m < n & \text{asymptote: } 0 \end{cases}\]

  • 例题

    \(\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{-2\sqrt{9x^{10}+2x^8+5}}{-12x^5+4x^3-2x^2-1}=\space?\)

    \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{5+e^{-x}}{1-e^{-x}}=\space?\)

    \(\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{5+e^{-x}}{1-e^{-x}}=\space?\)

    If \(f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{2x+5}-\sqrt{x+7}}{x-2} & x \ne 2 \\ k & x = 2 \end{cases}\), and if \(f(x)\) is continuous a \(x=2\), then \(k=\space?\)

    \(f(x)=\frac{x^2+x-20}{x^2-16}\), \(\lim\limits_{x\to-4}f(x)=\space?\)

    • 答案

      \(1.\space-\frac12 \\2.\space5 \\ 3.\space-1 \\ 4.\space \frac16 \\ 5.\space -\infty\)

Composite Limits 嵌套极限 (BC Only)

  • 若有函数 \(f(g(x))\) 求函数当 \(x \to t\) 时的极限,则有

\[\lim\limits_{x\to t}f(g(x)) = \lim\limits_{y\to\lim\limits_{x\to t}g(x)}f(y)\]

  • 嵌套极限中,如果 \(g(x)\)趋近过程中是常量,则 \(\lim\limits_{x\to t}f(g(x)) = f(g(t))\)

Squeeze Theorem 夹逼定理 (BC Only)

  • 若有函数 \(h(x)\) 定义如下

\[h(x) = \begin{cases}x\sin(\frac1x)&x\ne0\\0&x=0\end{cases}\]

  • 函数 \(h(x)\) 满足 \(x \in \mathbb{R}\) 时是否连续?

\[\begin{aligned} & -1\ge \sin(\frac1x)\ge1 \\ \Rightarrow &-|x|\ge x\cdot \sin(\frac1x) \ge -|x| \\ \Rightarrow &\lim_{x\to0}x\cdot \sin(\frac1x) = \lim_{x\to0} |x|=\lim_{x\to0} -|x| = 0 \end{aligned}\]

Continuity 连续

  • 如果函数 \(f(x)\) 满足以下三个条件,即称 \(f(x)\)\(x = c\) 处连续
    • \(f(c)\) 存在
    • \(\lim\limits_{x \to c} f(x)\) 存在
    • \(\lim\limits_{x \to c} f(x) = f(c)\)

Continuity on Intervals & IVT 连续与介值定理

Unit 2: Differentiation: Definition and Fundamental Properties 导数的定义与基本性质

Definition of Derivatives 导数的定义

Derivative Rules 求导方法

\(Tangent \space Line: \frac{d(f(x))}{dx} = \frac{P_y-f(x)}{P_x-x}\)

The derivative of an inverse function

Given \(g(x)=f^{-1}(x),\space f(a) = b \space g(b) = a\), than \(g'(b)=\frac1{f'(a)}\)

In general, \(g'[f(x)] = \frac1{f'(x)}\) or \(g'(x) = \frac1{f'(g(x))}\)

particle motion

\[\frac{d}{dx}[\ln(u)] = \frac{u'}{u} \\ u' = u \cdot \frac{d}{dx}[\ln(u)] \\ f'(x) = f(x) \cdot \frac{d}{dx}[\ln(u)]\]

So,

\[\frac d{dx}(x^x)= x^x \cdot \frac d{dx}[x\cdot \ln(x)] \\ = x^x \cdot(1+\ln(x))\]

\[\frac d{dx}[\cos(x)^x], x \in (0, \frac x2) \\ = \cos(x)^x \cdot \frac d{dx}[x\cdot\ln(\cos(x))] \\ = \cos(x)^x \cdot (\ln(\cos(x)) + x\cdot\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}) \\ = \cos(x)^x \cdot (\ln(\cos(x)) + x\tan(x))\]

Power Rule 幂法则

Product & Quotient Rules 乘 / 除法则

Differentiability and Continuity 可导与连续

Unit 3: Differentiation: Composite, Implicit and Inverse Functions 复合函数,隐函数,反函数的微分

Chain Rule 链式法则 复合函数求导

Derivatives of Exponential Functions 指数函数的导数

Derivatives of Triangle Functions 三角函数的导数

Derivatives of Log Functions 对数函数的导数

Table of Differentiation Formula 求导公式表

\(\frac d{dx} e^x = e^x\)

\(\frac {d}{dx} a^x = a^x \ln a\)

\(\frac{d}{dx}\ln(u) = \frac{u'}{u}\)

\(\frac d{dx} \log_au= \frac{u'}{u\ln a}\)

\(\frac d{dx}\tan x = \sec^2x\)

\(\frac d{dx} \arctan(u) = \frac{u'}{1+u^2}\)

\(\frac d{dx} \sec x = \sec x \tan x\)

\(\frac d{dx} \arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\)

\(\frac d {dx} \csc x = -\csc x \cot x\)

Implicit Differentiation 隐函数求导

Inverse Function 反函数求导

Higher Order Derivative of a Function 函数的高阶导数

Unit 4: Contextual Application of Derivatives 导数的应用

Interpreting the Meaning of Derivatives 解释导数的含义

L’Hopital’s Rule 洛必达法则

  • 若有极限 \(\lim\limits_{x \to n} p(x)\),其中 \(p(x)\) 满足 \(0/0\) 型,或其他形式,则可以通过 \(\text{L'H}\hat o \text{pital's Rule}\) 将原极限转换,使得

\[\lim\limits_{x \to n} [p(x) = \frac{f(x)}{g(x)}] = \lim\limits_{x \to n} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(n)}{g'(n)}\]

Unit 5: Analytical Applications of Differentiation 导数的分析及应用

如何理解三大微分中值定理?

  • 直观对于微分中值定理的理解

Mean Value Theorem中值定理

  • If \(f\) is continuous on the closed interval and differentiable on the open interval \((a, b)\), then there exists a number \(c\) in \((a,b)\) such that \(f'\left( c\right) =\dfrac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}\)

Rolle’s Theorem罗尔定理

  • Let \(f\) be continuous on the closed interval \([a,b]\) and differentiable on the open interval \((a, b)\). If\(f(a) = f(b)\), then there is at least one number \(c\) in \((a,b)\) such that \(f'(c) = 0\).

Derivative Test 导数检验

First Derivative Test 一阶导检验

  • If \(f'(a) < 0\), then \(f(x)\) is decreasing at \(x = a\)
  • If \(f'(a) > 0\), then \(f(x)\) is increasing at \(x = a\)

Second Derivative Test 二阶导检验

  • If \(f''(a) > 0\), then \(f(x)\) is concave up at \(x = a\)
  • If \(f''(a) < 0\), then \(f(x)\) is concave down at \(x = a\)
  • Point of inflection: \(f''(a) = 0\) , must have sign changing.

Critical Point 临界点

  • \(f(c)\) is defined at \(c\), also means that \(c \in D_f\)
  • \(f'(c) = 0\), or \(f\) is not differentiable at \(f\).

Calculate Critical Point 计算临界点

  • Let \(f'(x) = 0\) or \(f'(x) = \text{DNE}\)

Absolute / Relative - Max / Min 极值的理解

  • Absolute Maximum
  • Absolute Minimum
  • Relative Maximum
  • Relative Minimum

Absolute 又名 Global,Relative 又名 Local

Calculate Absolute Maximum / Absolute Minimum 计算绝对最大值和绝对最小值

  • 计算出所有临界点并且将端点列入 Candidate Test
  • 计算 Candidate Test 中候选点的值
  • 对比得到 Maximum / Minimum

Calculate Relative Maximum / Relative Minimum 计算相对最大值和相对最小值

  • First Derivative Test 一阶导数判断极值点
    • \(f'(x) = 0\) 从正+到负-:Local Minimum
    • \(f'(x) = 0\) 从负-到正+:Local Maximum
    • \(f'(x) = 0\) 符号不变:无极值
  • Second Derivative Test ****二阶导数判断极致点
    • \(f'(x) = 0\), \(f''(x) < 0\):Maximum
    • \(f'(x) = 0\), \(f''(x) > 0\):Minimum
    • \(f'(x) = 0\), \(f''(x) = 0\):Test Fail

Linear Approximation 线性估计

  • The formula is as follow:

\[⁍\]

Optimization Problems 优化问题

  • 通过约束条件和导数值取得最大或最小值,解决优化问题

  • 例 Finding Maximum Volume 寻找最大体积

    A manufacturer wants to design an open box having a square base and a surface area of 108 square inches, as shown. What dimensions will produce a box with maximum volume?

    • 列出体积公式:\(V=x^2h\)
    • 通过已知的 S 公式得到: \(h=\:\frac{108-x^2}{4x}\)
    • 代入体积原公式得到:\(V=x^2(\:\frac{108-x^2}{4x})\)
    • \(V=x^2(\:\frac{108-x^2}{4x})\) 求导
    • \(V'\)的 Maximum 即为答案
  • 例 Finding minimum distance 寻找最近距离

    Which points on the graph of \(y=4-x^2\) are closest to the point \((0,2)\) ?

    利用距离公式得:\(d=\sqrt{\left( x-0\right) ^{2}+\left( y-2\right) ^{2}}\)

    代入原公式得:\(d=\sqrt{x^{2}+\left( 4-x^{2}-2\right) ^{2}}=\sqrt{x^{4}-3x^{2}+4}\)

    \(f\left( x\right) =x^{4}-3x^{2}+4\) 求导

    \(f'(x)=0\),接着利用 First Derivative Test 算出 Maximum, Minimum.

Unit 6: Integration and Accumulation of Chang 积分和累计变化

Riemann Sum 黎曼积分

\[\lim\limits_{n \to +\infty}\sum^n_{i=1}f[a+\frac in(b-a)]\frac{b-a}{n} = \int^a_bf(x)dx\]

The Fundamental Theorem of Calculus and Accumulation Function 微积分基本定理与累积函数

Integrating Using Substitution 换元法积分

Integrating Using Parts 分部积分

Integrating Using Partial Function 部分分式积分

\[d(uv) = udv + vdu \\ \int d(uv) = uv = \int udv + \int vdu \\ \int udv = uv - \int v du\]

Improper Integrals 反常积分

Determine the Improper Integrals 判断反常积分

Determine of Convergence of Improper Integrals 反常积分的敛散性判断

  • Comparison Method for Determining of Convergence of Improper Integrals 比较审敛法
  • p-Series Method of Determining of Convergence of Improper Integrals 比阶审敛法

Calculation of Improper Integrals 反常积分的计算

Unit 7: Differential Equation 微分方程

Solution to the Differential Equation 微分方程的解

Slope Field 斜率场

Application of the Differential Equation 微分方程的应用

Exponential Model 指数模型

  • 一般形式:\(\frac{dy}{dx} = ky\)

    • \(k\) 即变化率
  • 对于一阶常微分方程解法

    \[\frac{dy}{dx} = ky \\ \frac{dy}{y}=k\cdot dx \\ \ln|y| = kx + C \\ y = e^{kx+C}\]

Logistic Model 人口增长模型

  • 一般形式:\(\frac{dy}{dx} = ky(M-y)\)

    • \(k\) 即变化率,\(M\) 为环境最高承载量(即自限函数)
  • 解关于人口增长模型的微分方程

    \[\frac{dy}{dx} = ky(M - y) \\ \frac{dy}{y(M-y)} = kdx \\ \int \frac{dy}{y(M-y)} = \int \frac{A}{y} + \frac B{M-y}dy , \frac{A(M-y)+BM}{y(M-y)} \\ A(M-y)+BM=1 \to A=B=\frac 1M \\ \int \frac 1M(\frac1y - \frac1{M-y})dy = \int kdx \\ \ln |M-y| - \ln |y| = -Mkx+C \\ \ln|\frac{M-y}{y}| = -Mkx+C \\ \frac{M-y}{y} = e^{-Mkx+C} \\ \frac My - 1 = e^{-Mkx+C} \\ y = \frac M{1+e^{-Mkx+C}}\]

Euler’s Method 欧拉法

  • 欧拉法本质上是一种折线法,在每次估计后根据步长调整斜率

  • 原理

    \[f'(x) \approx \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ f'(x)\Delta x + f(x) \approx f(x + \Delta x)\]

  • 通过 步长 确定 \(\Delta x\), 然后通过导函数 \(f'(x)\) 对原函数 \(f(x)\) 进行估计

  • 每一步估计后需要基于新的导数(变化率)对原函数进行估计

Unit 8: Applications of Integration 积分的应用

Average Value of Function 函数的平均值

Mean Value Theory for Integral 积分中值定理

如果存在 \(f(x)\)\((a, b)\) 范围内连续,则有一点 \(c \in (a, b)\)

\[f_{average}=\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}=c\]

Motion and Integrals 运动与积分

建议直接查阅 AP Physics C Mech

Area Between Curves 曲线间面积

\[A = \int^b_a[f(x) - g(x)] dx\]

Calculate Volume Using Integrals 用积分计算体积

Disk Model Method 圆盘法

  • 若存在函数 \(f(x)\),则 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\)\(x\) 轴旋转所形成的体积如下

\[dV = \pi y^2 dx = \pi f^2(x)dx\]

  • 即可以看作为 \(\text{Volume}\) 的增量为 以 \(R = f(x)\) 为半径形成的圆乘 \(dx\) 的厚度,积分后可得

\[\int dV = V = \pi \int^b_a f^2(x)dx\]

  • 同理我们可以得到绕 \(y\) 轴旋转所形成的体积为

\[V = \pi \int^b_af^2(y)dy\]

Washer Method 垫圈法

  • 简而言之,是圆盘法的拓展

\[V=\pi \int^b_a [R^2(x) - r^2(x)]dx\]

Shell Model Method 柱壳法 (AP not required)

  • 若存在函数 \(f(x)\),则 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\)\(y\) 轴旋转所形成的体积如下

\[dV = 2\pi xydx \Leftrightarrow \int^b_a dV = V = 2\pi \int^b_a xf(x)dx\]

  • 同理我们可以得到绕 \(x\) 轴旋转所形成的体积为

\[V = 2\pi \int^b_a yf(y)dy\]

Arc Length 曲线长度

  • 推导

\[\begin{aligned} ds &= \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \\ &= \sqrt{(dx)^2 + (\frac{dy}{dx}\cdot dx)^2} \\ &= \sqrt{(1 + (\frac{dy}{dx})^2)\cdot dx^2} \\ &= \sqrt{1+[f'(x)]^2}\cdot dx \\ \Rightarrow S &= \int^b_a \sqrt{1+[f'(x)]^2}\cdot dx \end{aligned}\]

Unit 9: Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions 参数方程,极坐标,矢量函数

Parametric Equations 参数方程

  • 参数方程便是,\(x\)\(y\),都是关于另一个变量 \(t\) 的函数,例如

\[\begin{cases} x = \cos t \\ y = \sin t \end{cases} \; 0\leq t\leq 2\pi\]

  • 这便是一个,单位圆的参数方程,参数方程的定义式如下

\[\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}\]

Eliminate the Parameter of Parametric Equation 参数方程的消参

  • 我们通过三角函数恒等式 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) 可以得到 \(x^2 + y^2 = 1\)
    • 另一个例子

      \[\begin{cases} x = 1-t \\ y = \sqrt t \end{cases} \; t \geq 0\]

      我们可以通过两边同时开方,消掉 \(t\)

      \[\begin{aligned} y^2 &= t \\ x &= 1-t = 1-y^2 \\ y^2 &= 1-x \end{aligned}\]

Derivatives of Parametric Equation 参数方程的求导

  • 如果可以消去参数,就是隐函数求导,例如上述例子

    • \(y^2 = 1 - x \Rightarrow 2y\cdot y' = -1 \Rightarrow y' = -\frac{1}{2y}\)
  • 如果不可以,则按照导数的定义式推导如下

    • 假设我们有以下参数方程

    \[\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}\]

    • 我们可以得到

    \[\frac {dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\]

  • 例题

Second Derivatives of Parametric Equation 参数方程的二阶导数

  • 根据一阶导数可以推导得到

\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(y') = \frac{\frac{dy'}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{d\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{d(\frac{\psi(t)}{\phi'(t)})}{dt}}{\phi'(t)}\]

  • 例题

    选A

Arc length of Parametric Equation 参数方程的弧长

  • 若我们有以下参数方程

\[\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}\]

  • 其中 \(\phi(t)\)\(\psi(t)\)\([\alpha, \beta]\) 区间中连续且可导

\[\begin{aligned} ds &= \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \\ &= \sqrt{(\frac{dx}{dt}\cdot dt)^2 + (\frac{dy}{dt}\cdot dt)^2} \\ &=\sqrt{(\phi'(t))^2 + (\psi'(t))^2(dt)^2} \\ &= \sqrt{\phi'^2(t) + \psi'^2(t)}\cdot dt \\ &\Rightarrow S = \int_{t=\alpha}^{t=\beta} \sqrt{(\phi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} dt \end{aligned}\]

\[ds=\int^{t=\beta}_{t=\alpha}\sqrt{(\frac{dy}{dx})^2+1}\]

Vector Function 向量函数

  • 对于任意一个向量,在复平面上的表示为:\(\overrightarrow{OA} = \langle a, b \rangle = a\hat i + b\hat j\),例如

    • \(\overrightarrow{OA} = \langle 3, 4 \rangle = 3\hat i + 2\hat j\)
  • 对于任意一个向量,我们说向量的模便是向量的长度:\(|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{a^2 + b^2}\),例如

    • \(\overrightarrow{OA} = \langle 3, 4 \rangle \Rightarrow |\overrightarrow{OA}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)
  • 显然的,我们可以将 \(\overrightarrow{OA} = \langle a, b \rangle = a\hat i + b\hat j\) 表达为一个动态的函数,类似于参数方程

    \[\begin{aligned} &\overrightarrow{OA} = \langle f(t), g(t) \rangle = f(t)\hat i + g(t)\hat j \\ &\Rightarrow \begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t)\end{cases} \end{aligned}\]

  • 例题

    答案选E

Polar Coordinate Function 极坐标函数

Polar Coordinate 极坐标

  • 定义

  • 极坐标与直角坐标的转换

    • 极转直

    \[\begin{cases} x = r\cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{cases}\]

    • 直转极

    \[\begin{cases} r^2 = x^2 + y^2 \\ \tan \theta = \frac{y}{x} \end{cases}\]

  • 对于常见极坐标图像的理解

    • 常用四个点 \(\frac{\pi}{2} \;\; \pi \;\; \frac{3\pi}{2} \;\; 2\pi\) 代入,并给出图像大概的感觉
    • (还需要补图,不够)

Derivatives of Polar Coordinate Function 极坐标函数的导数

  • 如果我们有极函数 \(\rho(\theta)\),所以每个落在函数上点便可表示为 \((r, \theta) \Leftrightarrow (\rho(\theta), \theta)\)
  • 先将极坐标函数转化为参数方程

\[\begin{cases} x = \rho(\theta)\cos \theta \\ y = \rho(\theta) \sin \theta \end{cases}\]

  • 按照参数方程求导公式 \(\frac {dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\) 可知

\[\frac{dy}{dx} = \frac{d(\rho(\theta)\sin \theta)}{d(\rho(\theta)\cos \theta)} = \frac{\rho'(\theta)\sin \theta + \rho(\theta)\cos \theta}{\rho'(\theta)\cos \theta - \rho(\theta)\sin \theta}\]

Area of Polar Coordinate Function 极坐标函数的面积

  • 我们通过 \(d\theta\) 尝试求出每增加 \(d\theta\) 的角度,算出增量面积,然后将增量面积积起来,即可得到结果。
  • \(d\theta\) 所增量的面积,我们可以近似的看作一个扇形。
  • 扇形的面积公式为 \(S_{sector} = \pi r^2 \cdot \frac{\theta}{2\pi} = r^2\frac{\theta}{2}\),其中 \(\frac{\theta}{2\pi}\) 便是占整个圆的比值

  • 所以我们可以得到极坐标函数的面积 公式为

\[A(\theta)=\pi r^2\frac{d\theta}{2\pi}=\int_a^b\frac12 r^2(\theta)d\theta\]

Unit 10 Infinite sequences and series 无穷序列

Determine Convergent and Divergent of an Infinite sequence 判断序列敛散性

// 整理敛散法,合并,现在这样写理解起来很费劲,容易乱

N-term Test for Divergence N 阶审散法

  • 我们存在无限数列单项 \(a_n\),且满足

\[\lim_{n\to \infty}a _n\neq 0 \Rightarrow \sum^{\infty}_{n=1}a_n \; \text{divergent}\]

  • N-Term Test 只能测试 发散, 如果不满足本测试, 不能判断数列为 收敛

Integral Test for Convergent 积分判断审敛法

  • 积分审敛法的本质仍是 N 阶审散法 和 不定积分中的 p-Series 审敛法

\[\int^{\infty}_1 f(x)dx \Rightarrow \lim_{n\to \infty}a _n\neq 0 \Rightarrow \sum^{\infty}_{n=1}a_n \; \text{divergent} \\ \int^{\infty}_1 f(x)dx \Rightarrow \lim_{n\to \infty}a _n = 0 \Rightarrow \sum^{\infty}_{n=1}a_n \; \text{convergent}\]

// TOFIX

Harmonic Series and p-Series 调和级数和 p 级数

  • 若存在无限数列

\[\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^p}\]

  • 如果 \(p>1\) 收敛\(p\leq1\)发散
  • 与不定积分 p-Series 审敛法一致

Direct Comparison Test 直接比较判断敛散

  • 若存在两个无限数列

\[S_a = \sum_{n=1}^\infty a_n \;\;\;\;\;\;\;S_b = \sum_{n=1}^\infty b_n\]

  • 如果 \(S_a\) 收敛,且 \(S_a > S_b\) 那么显然有 \(S_b\) 收敛
  • 如果 \(S_b\) 发散,且 \(S_b > S_a\) 那么显然有 \(S_a\) 发散
  • 外敛一定内敛,外散一定内散
  • 与不定积分比较审敛法一致

Limit Comparison Test 极限比较审敛法

  • 若存在两个级数分别为

\[S_a = \sum_{n=1}^\infty a_n \;\;\;\;\;\;\;S_b = \sum_{n=1}^\infty b_n \\ \lim_{n\to \infty}\frac{S_a}{S_b}>0,\in \mathbb{R}\]

  • 那么 \(S_a, \,S_b\) 同时 收敛 或者 发散

Alternative Test 交错级数判别法

  • 若存在级数

\[\begin{aligned} &S_a =\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots +(-1)^{n+1}a_n\\ &S_a' = \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n}a_n = -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \cdots + (-1)^{n}a_n \end{aligned}\]

  • 就有

\[\lim_{n\to \infty}a_n=0 \;\; \text{and} \;\; a_{n+1} < a_n \Rightarrow S_a \; \text{convergent}\]

  • 只能测试收敛, 如果不满足本测试, 不能判断数列为发散

  • 以 Alternating Harmonic Series 交错调和级数为例

    \[\begin{aligned} &S_n = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n} \\ &\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1} \;\; \text{and} \; \lim_{n \to \infty}\frac1n = 0 \\ &\Rightarrow S_n \;\;\text{convergent} \end{aligned}\]

Ratio Test 比值法

  • 若存在无限数列

\[\sum^{\infty}_{n=0}a_n = {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}=c+cr+cr^{2}+cr^{3}+\cdots +cr^k}\]

  • 我们能够算出等比数列的公比

\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=r\]

  • 所以如果有

\[L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\]

  • 那么便有

\[\begin{cases} L < 1 & \text{convergent} \\ L>1 & \text{divergent}\\ L=1 & \text{pending / test fails} \end{cases}\]

Absolute and Conditional Convergence 绝对收敛和条件收敛

Determine Absolute and Conditional Convergence 判断绝对收敛和条件收敛

  • 若存在无限数列

\[S_a = \sum_{n=1}^\infty a_n\]

  • 如果 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)\(\sum_{n=1}^\infty |a_n|\) 均为收敛 则为绝对收敛

  • 如果 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) 收敛\(\sum_{n=1}^\infty |a_n|\) 发散 则为条件收敛

  • 以 Alternating Harmonic Series 交错调和级数为例

    \[\begin{aligned} &S_n = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n} \;\; \text{convergent} \\ \text{but} \;\; &S_n' = \sum_{n=1}^\infty|\frac{(-1)^{n+1}}{n}| \;\; \text{divergent} \\ &S_n \;\; \text{contionally convergent} \end{aligned}\]

Absolute and Conditional Convergence in Alternative Series with p-Series Test p 级数检验与交错级数在绝对与条件收敛的关系

  • 若存在如下交错级数

\[S_n = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^p} = 1 - \frac 1{2^p} + \frac 1{3^p} - \frac 1{4^p} + \cdots, \;\; p > 0 \;\; \lim_{n \to \infty} \frac 1{n^p} = 0\]

  • 则有如下结论

\[\begin{cases} p > 1 & \text{Absolute Convergence} \\ 0 < p \leq 1 & \text{Conditional Convergence}\end{cases}\]

  • 例题

    D

    B

Alternative Series Error Bound Estimate Theorem 交错级数误差界估计定理

  • 若存在如下交错级数

\[\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}a_n = L\]

  • 对于该交错级数的结果有如下结论

\[|S_n - L| \leq |a_{n+1}|\]

  • 如下图所示,读者自证不难

  • 例题

// TOFIXIT + Example

Radius and Interval of Converge of Power Series 幂级数的收敛区间和半径

Power Series 幂级数

  • \(x = 0\) 处展开的幂级数为

\[f(x) = \sum^{\infty}_{n=0} c_nx^n = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + \cdots + c_nx^n\]

  • \(x = a\) 处展开的幂级数为

\[f(x) = \sum^{\infty}_{n=0} c_n(x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + c_3(x-a)^3 + \cdots + c_n(x-a)^n\]

  • 根据 比较审敛法

\[\sum_{n=1}^\infty |a_n| \;\; \text{convergent} \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n \;\; \text{convergent}\]

  • 所以我们可以通过比值审敛法,通过确定幂级数的绝对值函数收敛,从而确定幂级数收敛

\[\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot (x-a)| = \lambda \\ \begin{cases} 0 \leq \lambda < 1 & \text{convergent} \\ \lambda > 1 & \text{divergent} \\ \lambda = 1 & \text{pending / test fails} \end{cases}\]

// TOFIXIT Why (x-a)

Radius of Converge 收敛半径

  • 一般的,幂级数的收敛与否取决于 \(x\) 的范围

\[\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot (x-a)| < 1\]

  • 在这个范围中,幂级数收敛,解得 \(|x-a| < r\),其中 \(r\) 便是收敛半径

Interval of Converge 收敛区间

  • 求出 \(x\)收敛半径端点的敛散情况,即可确定收敛区间

  • 例题

    For what values of \(x\) do the following series converge?

    \[\begin{aligned}&\text{(a)} \;\;\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{2 n}}{2 n}=\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{6}}{6}-\cdots \\ &\text{(b)} \;\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(10 x)^{n}}{n !}=1+10 x+\frac{100 x^{2}}{2 !}+\frac{1000 x^{3}}{3 !}+\cdots \end{aligned}\]

    • \(\text {(a)}\)

      \[\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right| &=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n+2}}{2 n+2} \cdot \frac{2 n}{x^{2 n}} \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2 n}{2 n+2}\right) x^{2}\\ &=x^2 \end{aligned}\]

      • 于是,\(x^2<1\Rightarrow |x|<1\)
      • 收敛半径为 \(1\), 接下去判断端点值
      • \(x=1\) 时,原级数变为 \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{2 n}\),根据 交错级数审敛法,级数收敛
      • \(x = -1\) 时,原级数变为 \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{2 n}\),同理收敛
      • 所以,收敛区间为 \([-1,1]\)
    • \(\text{(b)}\)

      \[\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{n_{n}}\right| &=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{|10 x|^{n+1}}{(n+1) !} \cdot \frac{n !}{|10 x|^{n}} \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{|10 x|}{n+1}=0 \end{aligned}\]

      • 所以对于所有 \(x\) ,该级数都收敛

收敛半径的左右端点一定是条件收敛

Taylor Series 泰勒级数

  • 若存在函数 \(f(x)\)\(a\) 处的展开,可以被幂级数所拟合

\[f(x) = \sum^{\infty}_{n=0} a_n(x-c)^n\]

  • 我们对该幂级数进行变化如下

\[\begin{aligned}f(x) = \sum^{\infty}_{n=0} a_n(x-c)^n &= a_0 + a_1(x-c) + a_2(x-c)^2 + a_3(x-c)^3 + \cdots + a_n(x-c)^n \\ f'(x) = (\sum^{\infty}_{n=0} a_n(x-c)^n)' &= a_1 + 2a_2(x-c) + 3a_3(x-c)^2 + 4a_4(x-c)^3 + \cdots + n \cdot a_n(x-c)^{n-1} \\ f''(x) = (\sum^{\infty}_{n=0} a_n(x-c)^n)'' &= 2a_2 + 6a_3(x-c) + 12a_4(x-c)^2 + 20a_5(x-c)^3\cdots + n (n-1) \cdot a_n(x-c)^{n-1} \\ &\cdots \end{aligned}\]

  • 然后我们带入 \(x = c\) 使其在 \(c\) 处展开

\[f(c) = a_0 \, , \;\; f'(c) = a_1 \, , \;\; f''(c) = 2a_2 \, , \;\; f'''(c) = 6a_3 \, , \;\; \cdots\, , \;\; f^{(n)}(c) = n!a_n \\ a_n = \frac{f^{(n)}(c)}{n!}\]

  • 带回幂级数中我们可以得到一般情况下的泰勒级数(Taylor Series)

\[\begin{aligned} f(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} a_n(x-c)^n \\ &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n \\ &= f(a) + \frac{f'(c)}{1!}\cdot (x-c)+\frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2 + \frac{f'''(c)}{3!}(x-c)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n \end{aligned}\]

  • 泰勒级数的一般形式

\[f(x) = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n\]

\(N\) 阶 (Degree) 的 \(\text{Taylor}\) 多项式,意思是最高次项为 \(N\),但 \(f(a)\)z 算作第 \(1\) 项 (Term)

  • 例题

Maclaurin Series 麦克劳林级数

  • \(\text{Maclaurin}\) 级数是 \(\text{Taylor}\) 级数的特殊情况,是函数在 \(x=0\) 处的泰勒展开

\[f(x) = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = f(0) + \frac{f(0)}{1!}x+\frac{f'(0)}{2!}x^2 + \frac{f'(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\]

// TOFIX: a?

  • 一般的,需要记住以下常用函数的 \(\text{Maclaurin}\) 级数

\[\begin{aligned} \frac{1}{1-x}&=1+x+x^{2}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} \quad(|x|<1) \\ \frac{1}{1+x}&=1-x+x^{2}-\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n} \quad(|x|<1) \\ e^{x}&=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} \quad(\text { all real } x) \\ \sin x&=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !} \quad(\text { all real } x) \\ \cos x&=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !} \quad(\text { all real } x) \\ \ln (1+x)&=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots=\sum_{x=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n} \quad(-1<x \leq 1) \\ (1+x)^{p}&=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{p(p-1) \ldots (p-k+1)}{k !} x^{k}, |x|<1, p\in \mathbb{R}\end{aligned}\]

  • 例题

    Let \(f\) be a function such that \(f'(x) = \sin (x^2)\) and \(f(0)=0\). What are the first nonzero terms of the Maclaurin series or \(f\)?

    \(P_3(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{42}+\frac{x^{11}}{1320}\)

    A function \(f\) has a Maclaurin series given by \(2+3x+x^2+\frac 13 x^3 + \cdots\) , and the Maclaurin series converges to \(f(x)\) for all real numbers \(x\), If \(g\) is the function defined by \(g(x) = e^{f(x)}\), what is the coefficient of \(x^2\) in the Maclaurin series for \(g\)?

    \(g(x) \approx g(0) + \frac{g'(0)}{1!}x +\frac{g''(0)}{2!}x^2 \\ g''(0) = e^{f(0)}\cdot f'(0) + e^{f(0)}\cdot f'^2(0) = 3e^2 + 9e^2 = 11e^2 \\ \frac{g''(0)}{2!} = \frac {11e^2}{2}\)

Taylor Polynomial Reminder and Lagrange Error Bound 泰勒多项式余项与拉格朗日误差

Taylor Polynomial Reminder 泰勒多项式余项

  • 我们对函数 \(f(x)\)\(a\) 泰勒展开所得到的泰勒级数如下

\[f(x) = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\]

  • 对于无限项的泰勒级数而言,可以完全等价于函数 \(f(x)\),但通常在实际情况下,我们不会求解泰勒级数的无穷项,一般是 \(k\) 个有限项,所以我们有泰勒多项式(Taylor Polynomial),所以此时 \(f(x)\) 与泰勒多项式的关系是约等于

\[f(x) \approx \sum^{k}_{n=0} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=f(a) + \frac{f'(a)}{1!}\cdot (x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \]

  • 所以对于一个有限项的泰勒多项式而言,相对于原函数一定存在差别,而这个差别便是泰勒多项式余项 \(R_k(x)\)(Taylor Polynomial Reminder)

\[f(x) = \sum^{k}_{n=0} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=f(a) + \frac{f'(a)}{1!}\cdot (x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_k(x)\]

  • \(R_k(x)\) 的表达式便是拉格朗日余项

\[R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}(x-c)^{k+1}, \;\; c < \xi < x\]

  • 拉格朗日余项公式的推导

    • 我们有拉格朗日中值定理,如下

    \[f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}, \;\; c\in(a, b)\]

    • 即函数上一定存在一个当 \(x= c\) 时的瞬时变化率,可以刚好等于函数平均变化率的点
    • 推广在参数方城下得到柯西中值定理,即

    \[\frac{g'(\xi)}{h'(\xi)} = \frac{g(b) - g(a)}{h(b)-h(a)}\]

    • 重新观察余项

    \[R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(a)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1} + \frac{f^{(k+2)}(a)}{(k+2)!}(x-a)^{k+2} + \cdots + \frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\]

    • 可以发现 \((x-a)^{k+1}\) 为余项通项,可以提出。为了简单计算,我们定义函数 \(S_k(x)\) 如下

    \[S_k(x) = (x-a)^{k+1}\]

    • 计算提取后的结果后还是很复杂,发现 \(R_k(0) = 0\)\(S_k(0) = 0\),便进行如下变换

    \[\frac{R_k(x)}{S_k(x)} = \frac{R_k(x)-0}{S_k(x)-0} = \frac{R_k(x) - R_k(0)}{S_k(x) - S_k(0)}\]

    • 不难发现最后的式子与柯西中值定理神似,同理继续变换

    \[\frac{R_k(x) - R_k(0)}{S_k(x) - S_k(0)} = \frac{R_k'(\xi_1) - 0}{S'_k(\xi_1) - 0} = \frac{R_k'(\xi_1) - R'_k(0)}{S'_k(\xi_1) - R'_k(0)} = \frac{R''_k(\xi_2)}{S''_k(\xi_2)} = \ldots \]

    • 我们可以发现可以一直变换下去,直到 \(k+1\) 次导 \(S_k(x)\) 不可继续再导,便可以得到如下推导

    \[\frac{R_k(x)}{S_k(x)} = \frac{R'_k(\xi_1)}{S'_k(\xi_1)} = \frac{R''_k(\xi_2)}{S''_k(\xi_2)} = \ldots = \frac{R^{(k+1)}(\xi_{k+1})}{(k+1)!}\]

    • 而我们显然需要将 \(R_k(x)\) 的计算脱离 \(R_k(x)\) 导数及其本身,要引入原式 \(f(x)\) 的计算,所以要将 \(R^{(k+1)}(\xi_{k+1})\) 变化为 \(f(x)\) 的形式,可以先得到如下结论

    \[P(x) = \sum^{k}_{n=0} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=f(a) + \frac{f(a)}{1!}\cdot (x-a)+\frac{f'(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\\ f(x) = P(x) + R_k(x) \Leftrightarrow R_k(x) = f(x) - P(x) \\ R^{(k+1)}(\xi_{k+1}) = f^{k+1}(\xi_{k+1})\]

    • 所以最后我们可以整理得到,拉格朗日余项

    \[R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1}\]

  • 一般的,我们无法确切的知道 \(\xi\) 的具体位置,所以只能估计拉格朗日余项的最大值 \(f^{(k+1)}(x) \leq \max |f^{(k+1)}(\xi)|\)

\[|R_k(x)| \leq \max \bigg|\frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}(x-c)^{k+1}\bigg|\]

  • 例题

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