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AP 各学科「速成」笔记导览

Unit 2: Conductors, Capacitor and Dielectrics

Conductor

Electrostatics

• 因为导体中含有很多自由电子，所以若内部有电场，就一定会产生电流使得整个导体不平衡，若是平衡则一定没有电场。
• 所有的多余电荷都在导体表面
• 在导体内部没有静电场 \(E = 0\)
• 导体是等势体，因为没有静电场

Charge Distribution on Conductor 电荷在导体上的分布

• 对于图 c 而言，我们有 \(\phi_E = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} \quad Q_{\text{enc}} = q + Q_{\text{inner surface}} \Leftrightarrow Q_{\text{inner surface}} = -q\)

Field at the Surface of Conductor 在导体表面的电场

• 电荷在尖端聚集，且电场方向始终垂直于表面。
• 因为 \(E_{\text{inside}} = 0\), \(-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} = E = 0\) 在导体内部是等势体
  • 所以若电荷在等势体内移动 \(\Delta V = 0, \Delta U = 0, W = 0\) 也就是一定沿着电场线垂直方向移动，电场不做功

Electrostatic Shielding 电磁屏蔽

• 静电屏蔽是指导体外壳对它的内部起到「保护」作用，使它的内部不受外部电场的影响。如法拉第笼 Faraday Cage

AP MCQ Practice 练习

• AP 2012: C C

• 可以在 \(+3Q\) 外面的球面中间构造高斯面，同样的 \(\phi_E = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} \quad Q_{\text{enc}} = -Q + Q_{\text{inner surface}} \Leftrightarrow Q_{\text{inner surface}} = +Q\) 而后整体需要平衡所以外表面就是 \(+2Q\)

• AP 2012: C

• AP 2012: E

• 连通了就可以看整个作为一个导体，内部就是等势体
  • 若是要求最终等势体的 \(V\)，则考虑 $ \[\begin{cases} V_1 = V_2 \\ q_1 + q_2 = q_\text{tol} \end{cases}\] $ 因为两个球之间距离视为无限远，那么两个球所产生的电场 \(E\) 不会相互影响所以有 $ \[\begin{cases} V_1 = k\cdot \frac{q_1}{r_1} \\ V_2 = k\cdot \frac{q_1}{r_1} \\ \end{cases}\] q_1 : q_2 = r_1 : r_2 \[\begin{cases} q_1 = \frac{r_1}{r_1 + r_2}q \\ q_2 = \frac{r_2}{r_1+r_2}q \end{cases}\] V = $
• 电荷分布分析

• 当 \(a < r < b\) 是，\(E = 0\)，所以 \(Q_{\text{inner}} = -Q\)

Capacitor

• 电容器是储存电势能，或说电量的元器件
• 一般的形式就是像如下图所示的平行板电容器一样

• 但只要可以有正负势差，就可以称之为电容器，比如下面这些

• 所以我们定义，单位电势差所储存的电量，便是电容，定义式如下

\[ \begin{aligned} C &= \frac{Q}{\Delta V} \\ ~ \\ \pu{1 F} = \pu{1 Farad} &= \pu{1 C*V-1} = \pu{1 Coulomb*Volt-1} \end{aligned} \]

Parallel Plate Capacitor 平行板电容器

• 首先，观察上下两个平行板，虽然是 \(+Q\), \(-Q\)，但总的带电量就是 \(Q\)（也就是使得两边中和，电势差为 \(0\)）

• 对于平行板电容器，最重要的前提是忽略边缘效应，也就是 \(A \gg d\) 使得平行板近似为无限大平面

• 根据先前的知识我们知道，对于一块平行板，电场为 \(E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}\)，我们将 $$ 展开，得到 \(E = \frac{Q}{2 \epsilon_0 A}\)，对于平行板电容器，有两块平行板，电场便是 \(E = \frac{Q}{\epsilon_0 A}\)

• 这个在平行板电容器之间的电势差 \(\Delta V_{ab} = Ed = \frac{Qd}{ \epsilon_0 A}\)

• 根据电容的定义式 \(C = \frac{Q}{\Delta V} = \epsilon_0 \frac{A}{d}\)

• 另外的，电容器也并不一定需要两个导体组成，对于单个导体而言，大地（也就是 Earth），认为是电容的另外一极。

Calculation Practice 练习

• Notice: $ _0 = , k = = $

• 我们知道对于平行板电容器 $C = _0 A = $ 计算得到 \(\pu{1.15e8 m2}\)

• a

\[ C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{\pu{8.85e-12} \times \pu{2 m2}}{\pu{5e-3}} = \pu{3.52 nF} \]

• b

\[ C = \frac{Q}{\Delta V} \Leftrightarrow Q = C \cdot \Delta V = \pu{3.52e-9 F} \cdot \pu{1.0e4 V} = \pu{35.2 \mu C} \]

• c

  • 通过 a, b 两问的结果计算

\[ E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{Q}{A \epsilon_0} \]

• 通过匀强电场公式直接计算

\[ E = \frac{\Delta V}{d} = \frac{\pu{1.0e4 V}}{\pu{5e-3 m}} = \pu{2e6 V/m} \]

Geometry Capacitor 其他几何状的电容

Spherical Capacitor 球电容

• 也就是已知 \(Q\)，对于 \(C = \frac{Q}{\Delta V_{ab}}\)，需要求 \(\Delta V_{ab}\)
• 我们构建如图所示的，半径为 \(r\) 的球形高斯面

\[ \begin{aligned} \phi_E &= \oint \vec{\mathbf{E}} \cdot \mathrm{d}\vec{\mathbf{A}} = E \cdot \oint \mathrm{d}A = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} \\ &= E \cdot 4\pi r^{2} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} \end{aligned} \]

• 已知 \(Q_{\text{enc}} = Q\)，所以对于 \(E\) 我们有

\[ E \cdot 4\pi r^{2} = \frac{Q}{\epsilon_0} \Leftrightarrow E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^{2}} \]

• 所以对于 \(\Delta V_{ab}\)

\[ \Delta V_{ab} = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0}\cdot (\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b}) \]

\[ C = \frac{Q}{\Delta V_{ab}} = \frac{Q}{\frac{Q}{4\pi \epsilon_0}\cdot \frac{r_b-r_a}{r_a r_b}} = \frac{\epsilon_0 \cdot 4\pi r_a r_b }{r_b- r_a} \]

• 其中为了更好的理解和记忆，可以发现其与 平行板电容器，电容值计算之间的相似性 \(C = \frac{\epsilon A}{d}\)，可以认为在球电容中，其面积为半径的几何平均值 \(A = 4\pi r_a r_b\), 距离则为半径的差 $r_b - r_a $

Cylindrical Capacitor 柱电容

• 也就是已知 \(Q = \lambda L\)，对于 \(C = \frac{Q}{\Delta V_{ab}}\)，需要求 \(\Delta V_{ab}\)
• 已知无限长直导线的电场为 \(E = \frac{\lambda}{2\pi r \epsilon_0}\)
• 所以对于 \(\Delta V_{ab}\)

\[ \Delta V_{ab} = \left\vert - \int_{r_a}^{r_b} \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r} ~\mathrm{d}r \right\vert = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \ln \frac{r_b}{r_a} \]

\[ C = \frac{Q}{\Delta V_{ab}} = \frac{\lambda L}{\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \ln \frac{r_b}{r_a} } = \frac{2\pi \epsilon_0 L}{\ln \frac{r_b}{r_a}} \]

Energy Storage in Capacitor 电容器的能量

• 对于电容器的能量 \(U\)，因为电势差 \(\Delta V\) 在充放电过程中是变化的，所以无法使用 \(Q \cdot \Delta V\) 这种形式得到电容器的能量，所以必须考虑其微分形式

\[ \mathrm{d}W = v \cdot \mathrm{d}q = \frac{q\cdot \mathrm{d}q}{C} \]

• 积分得

\[ \int_{0}^{Q} \frac{q}{C} ~\mathrm{d}q = \frac{1}{C} \cdot \frac{1}{2} q^{2}\bigg|^{Q}_0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{Q^{2}}{C} \]

• 以此我们可以得到多个变形公式

\[ U = \frac {Q^2}{2C} = \frac 12CV^2 = \frac 12 QV \]

Energy Density in Capacitor 电容器的能量密度

• 我们可以认为一定的能量被存储在一个固定的区域中，所以可以计算密度如下

\[ u = \frac{\text{Energy}}{\text{Volume}} = \frac{\frac{1}{2} CV^{2}}{Ad} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\epsilon_0 A}{d} \cdot (Ed)^{2}}{Ad} \]

• 得到一个与电容器参数无关的能量密度公式

\[ u = \frac 12\epsilon_0 E^2 \]

• 也就是说，在真空中，任何带电场 \(E\) 的区域都有能量密度 \(u\) 且至于电场 \(E\) 有关

Energy Density of Spherical Capacitor 球电容的能量密度

• 通过 Spherical Capacitor 一节中，我们计算了球电容公式为 \(C = \epsilon_0 \cdot \frac{4\pi r_a r_b}{r_b - r_a}\)

• 第一种方法，通过 \(U =\frac{1}{2} Q \cdot \Delta V = \frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{C} = \frac{1}{2} C\cdot \Delta V^{2}\) 计算

\[ U = \frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{\epsilon_0 \cdot \frac{4\pi r_a r_b}{r_b - r_a}} = \frac{Q^{2}}{8 \pi \epsilon_0}\cdot \frac{r_b - r_a}{r_a r_b} \]

• 第二种方法，通过能量密度 \(u\) 积分

\[ u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^{2} = \frac{1}{2} \epsilon_0 \cdot (\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^{2}})^{2} \]

\[ \begin{aligned} U &= \int_{r_a}^{r_b} \frac{1}{32\pi ^{2} \epsilon_0} \cdot \frac{Q^{2}}{r^{4}} \cdot 4\pi r^{2}~\mathrm{d}r \\ &= \int_{r_a}^{r_b} \frac{1}{8\pi \epsilon_0} \cdot \frac{Q^{2}}{r^{2}} ~\mathrm{d}r \\ &= \frac{Q^{2}}{8\pi \epsilon_0}(- \frac{1}{r})\bigg|^{r_b}_{r_b} = \frac{Q^{2}}{8\pi \epsilon_0}\cdot \frac{r_b - r_a}{r_a r_b} \end{aligned} \]

Factor Affecting Parallel Plate Capacitors 影响电容的因素

• \(\Delta V\) 不变，也就是接上电源

  

  • \(d\) 的变化反向影响 \(C, Q, E, U\)
  • \(A\) 的变化不影响 \(E\)，\(E = \frac {\Delta V}{d}\)
  • 直觉：电容 \(C\) 变大后面 \(Q, U\) 显然变大（可以充更多电），除了 \(E\) 与 \(A\) 的关系不大，\(E\) 只考虑和 \(d\) 的关系

• \(Q\) 不变，也就是断开电源

  

  • \(d\) 上升，那么显然的 \(C\) 下降，因为 \(Q\) 不变所以 \(C = \frac{Q}{\Delta V }\), 所以 \(\Delta V\) 会上升，而 \(E\) 在此时反而于 \(d\) 无关，考虑 \(E = \frac{Q}{A \epsilon_0}\) 均不变。\(U\) 随着 \(\Delta V\) 方向上升
  • \(A\) 下降，那么显然的 \(C\) 下降，因为 \(Q\) 不变所以 \(C = \frac{Q}{\Delta V }\), 所以 \(\Delta V\) 会上升，而 \(E\) 在此时反而于 \(A\) 有关，考虑 \(E = \frac{Q}{A \epsilon_0}\)，所以 \(E\) 上升。\(U\) 随着 \(\Delta V\) 方向上升
  • 直觉：电子不让动，显然空间变少或者压力变大

• AP 2013: A

  

  • \(C= \epsilon\frac Ad\)
  • 拓展问题：若以选项 C 为电场 \(E_0\)，那么 A 的电场 \(E'\) 应为多少？
    • 考虑 \(E' = \frac{Q'}{\epsilon_0 \cdot 2A } = \frac{C' \Delta V}{\epsilon_0 \cdot 2A} = \frac{4 C \cdot \Delta V}{\epsilon_0 \cdot 2A} = \frac{4 Q}{\epsilon_0 \cdot 2A} = 2 \cdot \frac{Q}{\epsilon_0 A}\)，所以应为 \(E' = 2E_0\)

Dielectrics 电介质

• 电介质是用于插入平行板电容器之间，用于分离平行板和提高平行板电容器的击穿电压（Maximum Possible Potential Difference），使得电容更大
• 当我们插入电介质时，会将在真空中的电容提升一定的比例，我们称这个比为 \(\kappa\)，相对介电常数

\[ \kappa = \frac {C}{C_0}，C = \kappa C_0 \]

Common Dielectrics 常见电介质

Induced Charge 诱导电荷

• 为什么电介质会提升电容呢？

• 当没有电场时，极性分子无规则排布，而当有电场时，极性分子就会开始逐渐对齐电场线方向

• 这会使得极性分子产生一个与原有电场相反的感应电场，使得其可以抵消一部分原有电场。

• 具体步骤如图所示

• 如果 \(Q\) 不变 \(V = \frac {V_0}{\kappa}\)，\(E = \frac {E_0}{\kappa}\) （均变小）
  • \(\epsilon = \kappa \epsilon_0\)
  • \(u = \frac 12 \kappa \epsilon_0E^2 = \frac 12 \epsilon E^2\)
  • \(\sigma_i = \sigma (1 - \frac 1\kappa)\)

How Dielectric Affecting Parallel Plate Capacitors 电介质如何影响平行板电容器

• 若 \(\Delta V\) 不变，插入电介质
  • \(C = \kappa C_0\) 上升，\(Q = C \Delta V\) 上升，\(E = \frac{\Delta V}{d}\) 不变
  • \(U = \frac{1}{2} Q \cdot \Delta V\) 上升
• 若 \(Q\) 不变，插入电介质
  • \(C = \kappa C_0\) 上升，\(\Delta V = \frac{Q}{C}\) 下降，\(E = \frac{\Delta V}{d}\) 下降
  • \(U = \frac{1}{2} Q \cdot \Delta V\) 下降

AP MCQ Practice 练习

• AP 2015: B

• AP 2017: A E