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AP Physics C EM 物理 C 电磁学 - 03

Electric Circuits 电路

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AP 各学科「速成」笔记导览

Unit 3: Electric Circuits

Current 电流

  • 电流就是电荷的定向移动
  • 如图所示，粒子总是在做无规则运动，但是电场可以使得电荷宏观上定向移动，我们定义宏观移动速度为 \(\vec{v}_{\text{drift}}\)
  • 当电荷在导体上流动是，导体是非静电平衡的，且会撞击导体内的晶体结构，产生热，也就是电动势的损耗

  • 通常的，我们定义电流方向为 正电荷的运动方向为电流方向，即使大多数金属导体中负电荷是反方向移动的，也仍是正电荷运动的方向认为是电流方向
  • 所以 \(I\) 的方向不代表导体中带电粒子的运动方向

Current, Drifted Velocity and Current Density 电流与电流密度

  • 我们定义电流 \(I\) 为单位时间内流经的总电荷（无论正负）

\[ I = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \\ ~ \\ \pu{1 A} = \pu{1 Ampere} = \pu{1 C/s} \]

  • 需要注意的是，电流 \(I\) 是没有方向的标量，而非矢量，这是因为电流方向是由其导体方向决定的，在空间中无绝对方向，所以我们认为 \(I\) 是标量
  • 观察上述导体中的一截，我们可以定义 \(\mathrm{d}Q\) 如下，其中 \(n\) 代表单位体积内带电粒子的个数，\(q\) 代表单位带电粒子带电量的大小

\[ \mathrm{d}Q = q(nA v_{\text{drift}})\mathrm{d}t \]

  • 所以我们可以得到电流 \(I\) 为

\[ I = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = nqA v_{\text{drift}} \]

  • 我们定义每单位截面面积的电流为电流密度 \(\vec{J}\)，其为矢量，是因为我们一般讨论的是特定位置的上的电流密度，所以方向由 \(\vec{v}_{\text{drift}}\) 决定

\[ \vec{J} = \frac IA = nq \vec{v}_{\text{drift}} \]

Practice 练习

Resistivity 电阻率

  • 观察 \(\vec{J} = \frac IA = nq \vec{v}_{\text{drift}}\)，我们可以将 \(nq\) 视为材料常数，而 $_{} $，考虑一种变换为 \(J = kE\)

  • 所以我们认为，对于电流密度 \(J\) 与电场 \(E\) 成正比的的材料，我们称之为欧姆材料，或线性材料

\[ \rho = \frac{E}{J} \]

  • 这也便是欧姆定律的本质，是一种理想化的模型，大多数材料都并不是欧姆材料

Resistivity and Temperature 电阻率与温度

  • 在很小的温度范围 \(\Delta T\) 内（仍旧是理想化模型），我们认为 \(\rho\) 可以近似为

\[ \rho (T) = \rho_0 [1 + \alpha (T - T_0)] \]

  • 其中 \(\rho_0\) 表示变化前的材料系数，\(\alpha\) 为材料温度系数

Resistivity of Common Conductor 常见导体的电阻率

Resistance 电阻

  • 对于任何材料我们有电阻率 \(\rho = \frac{E}{J}\)，我们稍做变换

\[ \begin{aligned} E &= \rho J \\ \frac{\Delta V}{L} &= \rho \cdot \frac{I}{A} \\ \frac{\Delta V}{I} &= \rho \cdot \frac{L}{A} \end{aligned} \]

  • 我们定义电阻为 \(R = \rho \cdot \frac{L}{A}\)，便得到了欧姆定律的常见形式和常见变形

\[ R = \frac{V}{I}, \quad I = \frac{V}{R} , \quad V = IR \]

Resistance and Temperature 电阻与温度

  • 对于电阻，如同电阻率，同样受到温度影响，在很小的温度范围 \(\Delta T\) 内（仍旧是理想化模型），我们认为 \(R\) 可以近似为

\[ R(T) = R_0[1 + \alpha (T - T_0)] \]

Graph of Ohm’s Law 欧姆定律的图像

Practice 练习

Power and Energy 功率与能量

  • 对于电流所做的功和功率，有

\[ \mathrm{d}Q = I \mathrm{d}t \\ W = \Delta V_{ab} \mathrm{d}Q = \Delta V_{ab} I \mathrm{d}t \\ P = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} = \Delta V_{ab} I \]

  • 若导体符合欧姆定律则有如下变形

\[ P = \Delta V_{ab}I = I^2R = \frac{\Delta V_{ab}^2}{R} \]

Changing the Resistance 电阻的改变

  • 如果 \(I\) 是固定的，改变电阻的长度或面积会造成什么改变？

\[ R = \rho \frac{L}{A} \Rightarrow L \uparrow \Rightarrow R \uparrow \]

  • 如果 \(V\) 是固定的，改变电阻的长度或面积会造成什么改变？

  • 串联 （分压）

    • 等效电阻：\(R_{\text{eff}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n\)
    • \(V_1:V_2 = R_1 : R_2\)

  • 并联 （分流）

    • 等效电阻：\(\frac 1{R_{\text{eff}}} = \frac 1{R_1} + \frac 1{R_2} + \cdots + \frac 1{R_n}\)
    • \(I_1 : I_2 = R_2 : R_1\)

  • 终端电压：\(V_{ab} = \epsilon + Ir\)

  • 基尔霍夫定律

    • 假设未知数（电流）
    • 列方程
      • Junction
      • Loop 多少 \(I\) 选多少个 loop 构建方程组

  • 量程改造

    • 电流表，并联一个电阻分流
    • 电压表，串联一个电阻分压

  • 测电阻误差分析

    • 电压表含电流表，多一份电流表电压，测的比实际大
    • 电压表不含电流表，多一份电压表电流，测得比实际小

  • 电容

    • 串联：\(\frac 1{C_{\text{eff}}} = \frac 1{C_1} + \frac 1{C_2}\)，\(V_{\text{total}} = V_1 + V_2\)，\(Q_1 = Q_2\)
      • \(V_1:V_2 = C_2 : C_1\)
    • 并联：\(C_{\text{eff}} = C_1 + C_2\), \(V_1 = V_2\), \(Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2\)
      • \(Q_1 : Q_2= C_1 : C_2\)
    • RC
      • 充电
        • \(\epsilon -iR - \frac QC = 0\)
        • \(q = C\epsilon(1-e^{-t/RC}) = Q_f(1-e^{-t/\tau})\)
        • \(i= \frac{\epsilon}Re^{-t/RC} = I_0 e^{-t/\tau}\)
        • \(\frac q2 = \frac i2 =\ln 2\cdot RC\)
        • \(t = RC \to I =1/e, Q = (1 - 1/e)\)
        • \(\tau\) 与 \(t\) 同向变化
        • \(V_C = \epsilon - V_R\)
      • 放电
        • \(q = Q_0e^{-t/\tau}\)
        • \(i = -I_0e^{-t/\tau}\)
        • \(V_C = V_R\)

Unit 4: Magnetic Field

  • 洛伦兹力：\(F= q\vec v\times \vec B\)
  • 圆周运动：\(qvB = \frac{mv^2}r\)，\(r = \frac {mv}{qB}\)
  • 不偏转：\(v= \frac EB\)
  • 安培力：\(F = I\vec l \times \vec B\)
  • 有效长度: 磁场中导线首尾相连的有向线段在垂直于磁场平面方向上的投影。
  • 环形导体 \(\tau_{\text{total}} = IBA\sin \theta\)
  • 无限长直导线 \(B =\frac {\mu_0}{2\pi}\frac Ir = 2k' \cdot \frac Ir\)
    • \(F= \frac \mu{2\pi}\cdot\frac{I_1I_2}{r}\)
    • 同向电流吸引，反向排斥
  • \(d\vec B = k' \frac{I(d\vec l \times r)}{r^3}\)
    • 无穷长曲导线：\(B_x = \frac {\mu_0 Ia^2}{2(x^2+a^2)^{3/2}}\)
  • Ampere’s law: \(\oint \vec B \cdot d\vec l = \mu_0 I_{\text{encl}}\)
    • 导线：\(B_{\text{outer}} =\frac {\mu_0}{2\pi}\frac Ir\)，\(B_{\text{inner}} = \frac {\mu_0 I}{2\pi}\frac {r}{R^2}\)
    • 螺线管：\(B = \mu_0nI\)
      • 足够长足够紧匝数足够多
    • 导线与螺线管：\(B_{\text{inner}} = \frac {\mu_0}{2\pi}\frac {NI}r\)

Unit 5: Electromagnetism

  • \(\epsilon = Blv\)
  • Faraday’s law: \(\phi_B = \oint \vec E \cdot \mathrm{d} \vec A\) \(\epsilon = -\frac {\mathrm{d}\phi_B}{\mathrm{d}t}\)
  • Induced Electric Fields: \(\oint \vec E \cdot \mathrm{d} \vec l = -\frac {\mathrm{d}\phi_B}{\mathrm{d}t}\)
  • 电感：\(L=n^2\mu_0AL\), \(\epsilon = -L\frac {\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\), \(U = \frac 12 LI^2\)
  • RL
    • 充电
      • \(\epsilon - iR -L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = 0\)
      • \(i = \frac \epsilon R (1 - e^{-(R/L)t}) = i_f(1 - e^{-t/\tau})\)
      • \(\tau = L/R\)
    • 放电
      • \(- iR -L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = 0\)
      • \(i = I_0 e^{-(R/L)t} = I_0e^{-t/\tau}\)
  • CL
    • \(\omega = \sqrt{\frac 1{LC}}\)
    • \(q = Q\cos(\omega t + \phi)\)
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