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AP 各学科「速成」笔记导览

数学预备知识

0.1 Vector’s sum and difference

• Sum 加法

  • 平行四边形法则
  • 首尾相接，直接连接

  

  • 坐标直接相加 \(\overrightarrow{(x_a, y_a)}+\overrightarrow{(x_b, y_b)} = \overrightarrow{(x_a + x_b, y_a + y_b)}\)

• Difference 减法

  • 减数的头指向被减的头

• 正交分解

0.2 Vector Multiplication

0.2.1 Dot Product 点乘

• 点乘又称 scaler product，结果是标量，没有方向
• 几何含义：\(A\) 在 \(B\) 上的投影 \(|A|\cdot \cos\theta\) 乘以\(|B|\)
• 坐标算法：\(\overrightarrow{(x_a, y_a)}\cdot\overrightarrow{(x_b, y_b)} = (x_a \times x_b, y_a \times y_b)\)

0.2.2 Cross Product 叉乘

• \(| A \times B| = | A|| B|\sin\theta\)
• 叉乘后得到的是矢量
• 方向：手先与 \(A\) 平行，握向 \(B\), 大拇指方向即为叉乘方向

0.3 Calculus

• 详见自学 Calculus AB，在此不赘述

Kinetics 运动学

1.0 Mass Point 质点

• 研究问题时，形状，大小，等因素对分析其内容无关时，可以简化为一个点来研究其状态。

1.1 Displacement, Distance 位移，路程

• 位移，从起点指向终点，矢量
• 路程，即行走路线的长度，标量

1.1 Displacement Diagram 位移图

1.2 Speed, Velocity 速率，速度

• Velocity 的准确描述是“瞬时速度”，即点速度，Velocity 不能用于描述一段时间内的速度
  • 一段时间内的速度正确的表述方法为 average of velocity 平均速度
• \(v = \frac{d x}{dt}\) 所以显然 \(x = \int v(t)dt\)
• \(a = \frac{d v}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2}\) 所以显然 \(v = \int a(t)dt\)
  • 加速度作为位移函数二阶导数的性质，可以在\(x-t\)图像中，通过凹凸性判断加速度正负
• 研究加速度的目的
  • 通过牛顿第二定律 \(F = m a\) 作为力学和运动学的桥梁
  • 写题没思路，先想加速度

1.4 Big Five 推导公式

• 假设某物体在以恒定加速度\(a\)做匀加速运动

• \(v_f - v_i = \int^{t_f}_{t_i} a d t = a\int^{t_f}_{t_i}dt = a(t_f - t_i)= a\Delta t\)

• 所以显然有，\(v_f = a\Delta t + v_i\) - Big Five #1

• \(x_f - x_i = \int^{t_f}_{t_i} v(t)dt = \int^{t_f}_{t_i}( v_i + at)dt = v_i\Delta t +\frac 12 a\Delta t^2\)

• 所以显然有，\(x_f = v_i\Delta t +\frac 12 a\Delta t^2 + x_0\) - Big Five #2

• 根据 积分中值定理

• \(\overline v = \frac{\int_{t_i}^{t_f} v(t)}{t_f-t_i} = \frac{ v_i\Delta t +\frac 12 a\Delta t^2}{\Delta t} = v_i + \frac 12 a\Delta t = v_i + \frac 12( v_f - v_i) = \frac{ v_i + v_f}{2}\)

• 所以显然有，\(\overline x = \overline vt =\frac{ v_i + v_f}{2}\cdot t\) - Big Five #3

• 我们想要推到出不含 \(t\) 的表达式，那便使用 \(v_f = a\Delta t + v_i\) 将 \(t\) 表示出来并代换到 \(x_f = v_i\Delta t +\frac 12 a\Delta t^2 + x_0\) 中

• 我们便有，\(\Delta t = \frac{ v_f - v_0}{ a}\)，代入后整理可得，\(x = \frac{ v_f^2- v_i^2}{2 a}\) - Big Five #4

• 剩下一个公式是 第一个公式的反向

• 总结

  • \(v_f = a t + v_i\)
  • \(x_f = v_it +\frac 12 a t^2 + x_0\)
  • \(\overline x = \overline vt =\frac{ v_i + v_f}{2}\cdot t\)
  • \(v_f^2- v_i^2 = 2ax\)

• 例题

  

  

1.5 Free-Fall 自由落体

• 下落初速度为 \(0\)

• 物体在下落过程中，只受到重力加速度（\(g\)）作用

• \(h = \frac 12 gt^2\)

• \(v= \sqrt{2 gh}\)

• 变换参考系例题

  

  将小球 1 作为参考系，即参考系本身带有向下加速度\(g\)，而小球 2 本身就带有向下加速度\(g\)所以模型就变为简单的小球 2 以\(v_0\)速度靠近小球 1。所以选 C

• 例题

  

1.6 Free-Fall with Air Resistance 带空气阻力的自由落体

• 若带空气阻力的自由落体运动加速度为 \(a = g - b v\)

• 求出 \(v\) 关于 \(t\) 的表达式

  \[a = g - b v \\ \frac{d v}{dt} = g - b v \\ \frac{d v}{ g-b v} = dt \\ \int\frac{d v}{ g-b v} = \int dt \\ -\frac 1k \ln\frac{ g-k v}{ g} = t \\ \frac { g}k(1-e^{-kt}) = v\]

1.7 Projectile 二维抛体运动

• 正交分解运动趋势，一般的，分为 \(X\) 和 \(Y\) 两个纬度的运动

1.7.1 平抛运动

• 运动趋势：水平上 匀速直线，竖直上 自由落体
• \(| v| = \sqrt{ v_x^2 + v_y^2}\)
• 射程范围 \(r = v_0t\)

1.7.2 斜抛运动

• 竖直:

  • 初始值： \(v_h = v_0\sin \theta\)
  • 最大值： \(0\)
  • 唯一受到向下的重力加速度：\(- g\)
  • 任意一时刻：\(v_h(t) = v_h - gt\)
  • 高度：\(h = \int v(t)dt = v_0\sin \theta t - \frac 12 gt^2 + C\) (一般的，以抛出的水平线的基准，所以 \(C\)一般为 \(0\))
  • 由此我们可以得到运动所需时间：\(t = \frac{2 v_0\sin \theta}{ g}\)
  • 将运动所需总时间折半，代入 \(h(t)\) 函数，整理易得最大射高为 \(h = \frac{( v_0\sin \theta)^2}{2 g}\)
  • 根据匀加速公式可推到得到：\(v^2_y = v^2_{y_0}-2 g(y-y_0)\)

• 水平: \(v_0\cos \theta\)

  • 射程范围：\(v_0\cos\theta \cdot \frac {2 v_0\sin \theta}{ g} = \frac{2 v_0^2\sin \theta \cos \theta}{ g} = \frac{ v^2_0\sin2\theta}{ g}\)

• 例题

  

  

Newton Law 牛顿定律

2.1 Newton First Law

• 物体在合外力为 0 或者不受力的情况下，保持原有运动状态
• 数学语言
  • \({F_{net}} = 0 \Rightarrow a = 0\)
  • \({F_{net}} = \sum^n_{i=1} {F_i}\)
  • \(F = {F_x}\hat{i} + {F_y}\hat{k}\)

2.2 Newton Second Law

• 公式：\(\sum F = m a\)

• 例题

  • 通过运动加速度相同求解

    

    

    

    

    

    \(\frac{F_{23}}{M_3}=\frac{F-F_{12}}{M_1+M_2} = \frac{F_{12}}{M_2+M_3}\)

    

    

    统一分析 \(M_1\)，\(F_{net} = M_1g - T = M_1a\)，其中 \(\text{Fig. 1 Fig.2}\)差别只在 \(T\) 和 \(a\)

    对象多就用整体法，对象少就分开看

  • 与运动学的结合

    

2.3 Newton Third Law

• 每个力都会存在一个与之大小相同，方向相反的力，这个力称之为反作用力
• 力是成对出现的
• 重力和支持力不是作用力与反作用力，压力和支持力是成对的。

2.4.1 Weight 重力

• 重力(Weight)，与质量(Mass)为两种不同概念
• 重力 \(F_w = m g \space/\space G=m g\)

2.4.2 Normal Force 法向力

• 法向力，即垂直平面向上
• 失重：物体缩手支持力小于物体给平面的压力
• 超重：物体所受支持力大于物体给平面的压力

2.4.3 Friction 摩擦力

• 当物体在一个粗糙平面存在相对运动（动摩擦），或者相对运动趋势（静摩擦），即可产生摩擦力（Friction）
• 摩擦力大小与压力成正比，\(F_f = \mu\cdot F_n\)
• 静摩擦和动摩擦有不同的摩擦系数，\(\mu_s > \mu_k\)

2.4.4 Tension 拉力

• 绳子上的拉力处处相等，绳子之间的拉力具有传递性，大小不变。
• 滑轮（Pulley）
  • 定滑轮
    • 大小不变，方向变
  • 动滑轮
    • 方向不变，大小变

2.5 Circular Motion 圆周运动

• 物体如果匀速圆周运动，其中一定存在一个向心加速度（Centripetal Acceleration） \(a_c = \frac { {v^2}}r\)

  • 也可通过角速度计算 \({a_c} = \alpha^2r\)
    • 角速度
    • \(v = \omega r\)
  • 匀速圆周运动中，匀速指的是切向方向的速度大小不变，切向方向加速度为 0
  • 如果切向方向加速度不为 0，则运动轨迹会变成一个椭圆

• 向心力 \(F_c\), 通过 \(F_c = m a_c\) 计算 \(F_c = m\frac { {v^2}}r\)

• 例题

  

  

Energy 能量

• 如果一个物体能对外做工，说明这个物体有能量（Energy）
• 能量是标量，没有方向

3.1 Work 功

• 功（Work）表示了力对位移累计对物理量。表面了一种物理系统到另外一个物理系统能量对转变。
• SAT2 物理中，功的定义为 \(W= Fs\cos\theta\)
  • \(\cos \theta\) 的引入使得功只计算有效距离
• 而在 AP 中，\(W = \int F(x) dx\)
• 势能与功的关系
  • \(W = -\Delta U\)
  • 正确性显然，如果在一个物体具有 \(50J\) 的势能，物体势能对外做功 \(50J \to 30J\)
    • 则 \(\Delta U = -20J\)，功显然为 \(W = -\Delta U = 20J\)

3.2 Kinetic Energy 动能

• 动能是物质运动时所得到的能量

• 动能：\(E_k = \frac 12 m{v^2}\)

  • 动能公式的非严格推导：

    \[v_f^2 = v_i^2 + 2 a{\Delta x} \\ \text{Let} \;\; v_i = 0 \\ v_f^2 = 2\frac { F}m {\Delta x} \\ F {\Delta x} = \frac12 m v^2 \\ E_k = \frac 12m v^2\]

• 动能的两种类型

  • 平动动能（一般用的是这个），一般物体平推
  • 转动动能，汽车轮胎

• 例题

  

3.3 Kinetic Energy Theorem 动能定理

• \(W_{total} = \Delta K\) （可以与 \(W = -\Delta U\) 同时使用）
• 动能定理的推导

\[W = \int F(x)dx, \frac {d{x}}{dt} = {v} \Rightarrow dx = vdt \\ W = \int F(x) vdt = m \int a(x) vdt = m \int v\frac{d v}{dt}dt \\ = m \int vdv = \frac 12m v^2 - \frac12 m v^2_0 = \Delta K\]

• 例题

  

3.4 Conservative Force vs Nonconservative Force 保守力与非保守力

• 保守力做工与路径无关
• 非保守力做工与路径和路程有关
• 保守力绕任意闭合回路的功均为 0
• 只有保守力有势能
  • 势能与其物体位置有关，与其运动轨迹无关，非保守力便无从谈起势能

3.5 Potential Energy 势能

• 势能是一种与 物体位置有关 而与其 物体运动轨迹无关 的能量

  • 使用 \(U\) 或 \(PE\) 代表物体的势能

• 由于物体的势能与位置有关，所以不同位置状态观测到的物体势能会有不同的值。

• 无论势能零点的设置（初值）是否相同，势能的变化和势能差总是一致的，所以在研究过程中我们更倾向于使用势能的变化量。

• 势能与做工的关系

  • \(\Delta U = -W\)

• 常见势能：重力势能，弹性势能，引力势能

• 势能零点

  • 重力的势能零点便在相对平面上，如以地面为 0 点即地面为势能零点
  • 弹簧的势能零点便在静止的位置
  • 引力的势能零点便在无穷远处

• 例题

  

  

  

  

  

3.6 Gravitational PE 重力势能

• 物体由于被举高而产生的势能，\(U_g = m {g} {h}\)

3.7 Elastic PE 弹性势能

• 通过胡克定律 \(F(x) = -k \Delta x\) 可知，弹性势能 \(U_e = \int F(x)dx = \frac 12k \Delta x^2\)

• 例题

  

  

  

  

3.8 Law of Conservation of Energy 机械能守恒

• 对于一个系统来说，能量不会凭空产生也不会凭空消失，只会从一种能量形式转化为另一种能量形式

• 例题

  

  

3.9 PE Curve 势能曲线

• 见下图，\(E_0\) 为设置的初始势能
• 运动范围受到机械能守恒限制只能有 \(x \in [-x_0,x_0]\)，范围之外取不到
• 如果在 \(x \in [-x_0, x_0]\) 的范围中，那么 \(K = E_0 - U\)

• 另外的，因为我们知道 \(W = -\Delta U\)，而 \(W = \int F(x)dx\) 所以必然有 \(\Delta F = -\frac{d\Delta U}{d x}\)
• 稳定平衡点：物体能量处于最低点（local minima），能量图像的二次导数 \(\frac {d^2U(x)}{d x^2} > 0\)
• 不稳定平衡点：物体能量处于最大值（local maxima），能量图像的 \(\frac {d^2U(x)}{d x^2} < 0\)
• 随遇平衡：物体能量图像的 \(\frac {d^2U(x)}{d x^2} = 0\)

3.10 Powers 功率

• 功率（Power）描述的是物体做工快慢的本领，单位为 W，瓦特。

\[P=\frac Wt= \frac { Fs}t = F v\]

• 功率也可以进行微分化，因此物体在一段时间内做的总功也可以被表示为

\[P = \frac{dW}{dt} \Rightarrow W = \int P dt\]

• 例题

  

  

Momentum 动量

• 动量（Momentum）是因为物体运动而产生的物理量，是物体质量和速度的乘积。因此动量是一个有大小有方向的矢量。\(p = m v\)
• 单位：\(kg\cdot m/s\)
• 动量描述的是物体因为运动而产生的量，机械运动中物体之间传递的物理量。
• 另外的，因为 \(F = m a\)

\[\frac {d p}{dt} = \frac {d(m v)}{dt} = m\frac {d v}{dt} = m a = F \\ \Rightarrow F = \frac {d p}{dt}\]

• 又因为 \(F = \frac {d p}{dt}\) ，所以

\[\int F(t) dt = \int d p \\ \Rightarrow \Delta p = F\Delta t\]

4.1 Momentum vs Kinetic Energy 动量与动能的区别

• 动量：描述物体运动传递的本领，矢量

  • 比如两个物体碰撞，物体 A 能在其运动方向上传递给 物体 B 运动的多少
  • 动量是在运动层的转化
  • 动量与力的关系 \(\Delta p = F \Delta t\)

• 动能：描述物体能量传递的本领，标量

  • 动能是在能量层的转化
  • 动能与力的关系

  \[\frac {dE_k}{dt} = m v(t)\cdot \frac {d v(t)}{dt} = F(t) v(t) \Rightarrow \int F(t) v(t)dt = E_k\]

• 动量与动能的关系

\[E_k = \frac 12 m v^2 \space (\text{scale})\\ p = m v \space (\text{vector}) \Rightarrow p^2 = m^2 v^2 \space (\text{scale}) \\ \Rightarrow \frac {m^2 v^2}{2m} = \frac 12 m v^2 = E_k \\ \Rightarrow E_k = \frac { p^2}{2m}\]

4.2 Impulse 冲量

• 物体所受合外力与时间的乘积，表明了一个力在一段时间内的作用效果。
• 冲量的单位：\(N\cdot s\)

\[J = \int F(t)dt\]

• 根据力的表达式 \(F = \frac {d p}{dt}\)

\[J = \int \frac {d p}{dt}dt = \int d p = \Delta p\]

• 因此，物体在一段时间内的动量变化量等于物体所受合外力在这一段时间内的冲量。这条定律也被称之为“动量定理”(Impulse-momentum Theorem)

• 例题

  

  C

  

  C，考虑动量的方向

4.3 Law of Conservation of Momentum 动量守恒定律

• 如果系统受到的合外力为零，系统的总动量保持不变，即动量守恒定律（The Law of Conservation of Momentum)

\[\frac{d\sum p}{dt} = \sum F = 0\]

4.3.1 Conditions for Momentum Conserve 动量守恒定律

• 动量守恒定律严格成立的条件是系统受到的合外力为零

\[F = F \Delta t \\ \text{Since action = reaction} \\ F_1 + F_2 = 0 \Rightarrow J = 0\]

• 当系统内部的物体之间相互作用的内力远远大于外力，相对于内力，可以忽略外力，此时动量守恒定律近似成立。例如物体由于爆炸分割为多个小物体，此时爆炸产生的力远大于空气阻力，重力等。所以可视动量守恒。

• 若在某一个方向上，合外力的分量为零，则该方向的动量守恒，即动量在该方向的分量守恒。（X，Y 方向上即便分解了动量都是守恒的）

• 例题

  

  A

4.3.2 Collision 碰撞

• 碰撞（Collision）是动量守恒定理的最常见的例子
• 碰撞根据其性质分为：弹性碰撞（Elastic Collision）以及非弹性碰撞（Inelastic Collision)

4.3.2.1 Elastic Collision 弹性碰撞

• 物体碰撞时动量守恒且动能守恒的碰撞叫做弹性碰撞。
• 弹性碰撞在碰撞后系统的总动能最大（因为守恒）。（这 ppt 在讲什么谜语）

\[\begin{cases} m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2' \\ \frac 12 m_1v_1^2 + \frac 12 m_2v^2_2 = \frac 12 m_1v_1'^2+\frac 12m_2v_2'^2\end{cases} \\ \Rightarrow v'_1 = \frac{v_1(m_1-m_2)+2m_2v_2}{m_1+m_2} \\ v'_2 = \frac{v_2(m_2-m_1)+2m_1v_1}{m_1+m_2}\]

4.3.2.1.1 Elastic Collision Formula 弹性碰撞的性质

• 弹性碰撞存在以下性质

  • 一个物件相对另一个物件的速度，在碰撞后逆转。

  \[v'_1 - v'_2 = v_2-v_1\]

  • 推导

    • 由动量守恒可知

    \[m_1v_1+m_2v_2=m_1v'_1+m_2v'_2 \\ m_1v_1 - m_1v'_1 = m_2v'_2 - m_2v_2 \\ m_1(v_1 - v_1') = m_2(v_2' - v_2)\]

    • 由动能守恒可知

    \[\frac 12 m_1v_1^2 + \frac 12 m_2v^2_2 = \frac 12 m_1v_1'^2+\frac 12m_2v_2'^2 \\ m_1v_1^2 + m_2v^2_2 = m_1v_1'^2 + m_2v_2'^2 \\ m_1v_1^2 - m_1v_1'^2 = m_2v_2'^2 - m_2v^2_2 \\ m_1(v^2_1 - v_1'^2) = m_2(v_2'^2 - v_2^2) \\ m_1(v_1 +v_1')(v_1 - v_1') = m_2(v_2' + v_2)(v_2' - v_2)\]

  • 两式相比

    \[v_1 + v_1' = v_2' + v_2 \\ v_1 - v_2 = v'_2 - v'_1\]

  • 两个碰撞物的质量相同，则两者速度互换。

  • 若以大撞小，则大的速度几乎不变，而小以近乎原前者两倍速度弹出。

  • 若以小撞大，则小的以近乎原速率反弹，而大几乎不动。

4.3.2.2 Inelastic Collision 非弹性碰撞

• 物体动量守恒，但动能存在损失
• 如果是完全非弹性碰撞（Completely Inelastic Collision），系统的动能损失量最大，物体以相同的速度继续运动。

\[m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)v' \\ v' = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}\]

4.4 Center of Mass 质心

• 物体质量集中的中心被称之为质心（Center of Mass）

• 对于几何形状规则（Homogenous）的物体，可以想象其物体的质心在其几何中心上。

• 但对于非规则几何形状的系统来说,需要计算出系统的质心的位置。

  • 对于离散系统（Discrete）的系统来说，物体的质心为

  \[x_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \cdots + m_nx_n}{m_1+m_2 + \cdots + m_n} = \frac{\sum^n_i m_ix_i}{\sum^n_i m_i}\]

  • 对于连续系统（Continuous）的系统来说，我们需要通过积分使得离散的点变成连续的系统，物体的质心为

  \[x_{cm} = \frac 1M\int xdm\]

  • 一般的，在计算过程中我们需要把 \(dm\) 转化为 \(\lambda dx\) , 即 密度关于什么的函数*什么

4.5 Review Newtown Second Law

• 我们知道 \(x_{cm} = \frac{\Sigma m_i x_i}{\Sigma m}\) ，因此

\[\Sigma mx_{cm} = \Sigma m_ix_i \\ \Sigma mx_{cm} dt = \Sigma m_ix_idt\\ \Sigma mv_{cm} = \Sigma m_iv_i\]

• 所以有，系统的动量等于系统各部分的动量之和。
• 类似的，我们还可以利用上式再次对时间微分

\[\Sigma ma_{cm} = \Sigma m_ia_i \\ F_{net} = \Sigma m_ia_i = \Sigma F_i\]

Rotation 转动

5.1 Motion 运动

• 运动大体上可以被描述为两种形式

  • Translation 平动

  

  • Rotation 转动

  

5.2 Rotational Kinetics Key Concepts 转动力学要点

• 一般的角分为，角度制（Degree, DEG）和弧度制（Radian, RAD）
• 角位移：与参考线形成的角度，记为 \(\theta\)
• 角速度：角位移关于时间的变化率，记为 \(\omega\)

\[\omega = \frac{d\theta}{dt}\]

• 角加速度：角速度关于时间的变化率，记为 \(\alpha\)

\[\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}\]

• 刚体（Rigid Body）：沿着弧线的所有点都有相同的角位移 \(\theta\)。

5.3 Angular Displacement 角位移

• 以弧度为单位的角度，是指点或线在指定意义上绕指定轴线旋转的角度，即矢量。
• 单位：弧度（rad），无量纲单位。
• 逆时针转为正，顺时针转为负
• 弧长：\(S = r\theta\)

5.4 Angular Velocity 角速度

• 其角位移随时间的变化率

\[\omega = \frac{d\theta}{dt} \\ \int \omega dt = \theta\]

• 单位：\(\text{rad/s}\)
• 转动周期

\[T = \frac {2\pi}{ \omega}\]

• 角速度的方向（垂直纸面）

5.5 Angular Acceleration 角加速度

• 其角速度随时间的变化率

\[ \alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2} \\ \int\int \alpha dt dt = \int \omega dt = \theta \]

• 单位：\(rad / s^2\)。

5.6 Linear vs Rotational 线性与转动

• 切线线速度 \(v\) ，线加速度 \(a\)

\[x = r\theta \\ \omega = \frac{d\theta}{dt} \Rightarrow wr = \frac{d\theta \cdot r}{dt} \Rightarrow v = wr \\ a = \alpha r\]

• 线性运动方程
  • \(v_f = a t + v_i\)
  • \(x_f = v_it +\frac 12 a t^2 + x_0\)
  • \(\overline x = \overline vt =\frac{ v_i + v_f}{2}\cdot t\)
  • \(v_f^2- v_i^2 = 2 a x\)
• 角运动方程
  • \(w_f = \alpha t + w_i\)
  • \(\theta_f = \omega_it +\frac 12 \alpha t^2 + \theta_0\)
  • \(\overline \theta = \overline \omega t =\frac{ \omega_i + \omega_f}{2}\cdot t\)
  • \(\omega_f^2- \omega_i^2 = 2 \alpha \theta\)
• 区分两种不同的加速度
  • 角速度的加速度 \(a_t = r\alpha\)
  • 向心加速度 \(a_{cp} = r\omega^2\)
• 注意：从本节开始，滑轮记重量会使得两边的加速度并不相等，因为滑轮本身也会带有加速度。

5.7 Rolling Motion 滚动

• 如果圆形物体滚动不打滑，则我们称之为无滑滚动（rolls without slipping），且平移速度和转动速度有固定关系。
• 无滑滚动的最低点速度为 \(0\)，最高点为 \(2v\)

• 条件
  • 摩擦力存在
  • 最低点速度为 \(0\)
  • 质心位移大小与角位移大小相等
  • \(v_{cm} = r\omega\)
• 有滑滚动
  • 要么摩擦力巨大，要么摩擦力巨小，视题目不同而不同

5.8 Rotational Kinetic Energy 转动动能

• 公式

\[K = \frac 12 mv^2 = \frac 12 m (r\omega)^2 = \frac 12(mr^2)\omega ^2\]

• 我们尝试将公式中的 \(mr^2\) 视为一个常量，这便是转动惯量（Rotational Inertia）
• 所以最终便是

\[K = \frac 12 Iw^2\]

5.8.1 Rotational Inertia 转动惯量

• 转动惯量与质量类似，都属于物体的属性，用字母 \(I\) 表示
• 它是一个标量，告诉我们改变物体围绕给定旋转轴的旋转速度的难度
• 对于离散系物体

\[I = \sum^n_{i=1}m_ir_i^2\]

• 对于连续系物体（disks, spheres, hoops, etc.）

\[I = \int r^2dm\]

• 同样的，将 \(dm\) 转化为诸如 \(\rho dS\) ，\(\rho dL\) 等

• 例证

  

  \[I = \int r^2dm = \int r^2 \rho dV \\ \frac{dV}{dr} = \frac{d(\pi r^2H)}{dr} = 2\pi rH \Leftrightarrow dV = 2\pi rHdr \\ \rho \int^R_0 r^2(2\pi rH)dr = 2 \pi H\rho \int^R_0 r^3dr = 2 \pi H \frac{M}{\pi R^2H}(\frac14R^4 - 0) \\ \Rightarrow I = \frac 12 MR^2\]

5.8.1 Moment of Inertia

• 平行轴定理（Parallel-axis Theorem）：如果知道质心的转动惯量，便知道了其他位置上的转动惯量，通过以下公式计算

\[I = I_{\text{cm}} + M_{\text{total}}d_{\text{to cm}}^2\]

5.8.1 Total Kinetic Energy For Rotational Motion 转动总动能

• 平动 + 转动的总动能

\[K = \frac12 mv^2_{cm} + \frac 12 I\omega^2\]

• 无滑滚动（这公式推的好魔幻？）

\[K = \frac 12 mv^2 + \frac 12 I \omega^2 = \frac 12mv^2 + \frac 12 I(\frac vr)^2 = \frac 12mv^2(1 + \frac I{mr^2})\]

Rotation Part 2 转动 第二部分

6.1 Torque 力矩

• 力矩的计算 \(\tau = r \times F =rF\sin \theta\)
• 单位：\(N\cdot m\)
• 方向使用右手定则

6.2 Torque and Angular Acceleration 力矩与角加速度

• 我们知道牛顿第二定律 \(F = ma\)
• 如果考虑一个物体 \(m\) 绕着轴 \(r\) 运动，我们可以重写牛顿第二定律为

\[F = ma \Rightarrow a = \frac{F}{m} \Rightarrow \frac{a}{r} = \frac{F}{mr} \\ \alpha = \frac{Fr}{mr^2} \Rightarrow \alpha = \frac{\tau}{I} \\ \tau = I\alpha\]

6.3 Rotational Equilibrium 转动平衡

• 如果作用在该物体上的力矩之和为 \(0\)，则该物体处于转动平衡状态。也就是说，\(\tau_{net} = 0\)
• \(\tau_{net} = 0\) 并不意味着角速度是 \(0\)
  • 如果角速度是 \(0\) ，那么这就是静止平衡（Static Equilibrium）
  • 如果不为 \(0\) ，那么这就是动态平衡（Dynamic Equilibrium）
• 通常思考 \(\tau_{net} = 0\) 和 \(F_{net} = 0\) 作破题点

6.4 Angular Momentum 角动量

• 根据牛顿第二定律我们知道 \(F = \frac{\Delta p}{\Delta t} \Rightarrow rF = \frac{\Delta (rmv)}{\Delta t}\)
• 所以我们定义角动量为 \(L = rmv\)
• 单位： \(kg\cdot m^2/s\)
• 向量形式为 \(L = r \times p\)
• 变形公式为 \(L= rmv = rm(\omega r) = mr^2\omega = I \omega\)

6.4.1 Newton’s Second Law for Rotational Motion and Angular Momentum 牛顿第二定律与角动量

• 牛顿第二定律关于转动的公式与角动量可以有新的联系

\[\begin{cases} \tau = I\alpha \\ L = I\omega \end{cases} \Leftrightarrow \frac{dL}{dt} = I\frac{d\omega}{dt} = I\alpha = \tau \\ \tau = I\alpha = \frac{dL}{dt}\]

6.5 Conservation of Angular Momentum 角动量守恒

• 如果 \(\tau_{net} = 0\) ，角动量守恒

• 碰撞问题，守恒即共同角速度

6.6 Work in Rotational Motion 转动做功

• 将 \(x\) 类比于 \(\theta\) ，\(W = F\Delta x\)， 转动做功

\[W = \tau\Delta\theta \\ \Rightarrow W = \int \tau d\theta\]

6.7 Power in Rotational Motion 转动功率

• 转动的功率，类比 \(P = Fv\)

  \[P = \frac{W}{\Delta t} = \tau \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \tau \theta\]

Simple Harmonic Motion 简谐运动

• 恢复力（Restoring Force）和位移成正比，力总是指向平衡位置
• 胡克定律：\(F = -kx\)

7.1 Elastic Potential Energy 弹性势能

• 根据胡克定律 \(F = -kx\) 和功的定义式 \(W = \int Fdx\)，可以得到

\[W= \int^{x_1}_0 -kxdx = -k \int^{x_1}_0 xdx = -\frac 12kx^2 \\ W = -\Delta U \Leftrightarrow U = -W = \frac 12 kx^2\]

• 所以弹性势能公式为：\(U = \frac 12 kx^2\)

7.2 Analyze Oscillator 弹簧震子的分析

• 振幅（Amplitude）物体震动能经过的最大位移

• 例题

  

  \[F=-kx=ma \Leftrightarrow a = -\frac km x\]

  

  Block 2 下滑 所以势能变成动能，势能便是 \(-mgh\)

  Block 2 下滑使得弹簧 \(k\) 吸收能量，增加的势能便是 \(\frac 12kx^2\)

  而 Block 1 和平面的滑动摩擦力会损失一部分势能便是 \(-w_f\)

  因为势能守恒，所以我们可以得到 \(\frac 12kx^2 - mgh - w_f = 0 \Rightarrow \frac 12kx^2 = mgh + w_f\)

  所以很容易得到 \(\frac 12kx^2 > mgh\)，也就是弹簧的势能大于 Block 2 损失的重力势能

  故答案选 D，C

7.3 Frequency & Period 频率与周期

• 频率f（Frequency）：每秒中走了几周，单位 Hz
• 周期T（Period）：一周需要多少秒，单位 s
• 周期与频率的关系，假设时间为 \(t\)，频率为 \(f\)， 周期为，\(T\)，\(t\) 时间内共走了 \(S\) 周

\[f = \frac {S}{t}\;,\; T = \frac tS \\ \Rightarrow f\cdot T = 1 \Leftrightarrow \begin{cases} T = \frac 1f \\ f = \frac 1T\end{cases}\]

7.4 SHM Equation 简谐运动方程

\[F = -kx, \;\; F=ma \\ m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx \\ m\frac{d^2x}{dt^2}+kx = 0 \\ \Rightarrow x(t) = A\sin(\omega t + \phi)\]

• \(A\) 振幅，\(\omega\) 角频率，\(\phi\) 初始值

\[\omega = \sqrt{\frac km} = 2\pi f \Leftrightarrow \begin{cases} f = \frac{\omega}{2\pi} \\ T = \frac{2\pi}{\omega}\end{cases}\]

• 与圆周运动的联系

\[F_{c} = m\frac{v^2}{r} = m\frac{(\omega r)^2}{r} = m\omega^2r \\ \Rightarrow mr \cdot \frac{4\pi^2}{T^2} = mr\cdot 4\pi^2f^2\]

• 例题

  

• 位移方程：\(x(t) = A \sin(\omega t + \phi)\)

• 速度方程：\(v(t) = \omega A\cos(\omega t + \phi)\)

• 加速度方程：\(a(t) = -\omega^2A\sin(\omega t + \phi)\)

• 位移与加速度的关系 \(-\omega^2 x=a\)

  • 通过胡克定律与牛顿第二定律我们可以知道 \(F= ma = -kx\)

  \[a = -\frac kmx, \;\; a = -\omega^2x \\ \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac km}\]

• 位移与速度的关系 \(\omega^2 x^2+v^2=\omega^2A^2\)

  \[x = A \sin(\omega t + \phi) \Rightarrow \omega x = \omega A\sin(\omega t + \phi) \\ \Leftrightarrow (\omega x)^2+ v^2 = \omega^2 A^2\sin^2(\omega t + \phi) + \omega^2 A^2\cos(\omega t + \phi) \\ Since \; \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \\ \Rightarrow \omega^2x^2 + v^2 = \omega^2A^2(\sin^2 + \cos^2) \\ \Rightarrow \omega^2 x^2+v^2=\omega^2A^2\]

• 例题

  

  \[\frac 12kx^2 = \frac 12mv^2 \Leftrightarrow kx^2 = mv^2 \Leftrightarrow \frac kmx^2 = v^2 \Leftrightarrow v = \omega x \\ \text{Since,} \;\; \omega^2 x^2+v^2=\omega^2A^2 \\ \Rightarrow \omega^2 x^2+ \omega^2 x^2=\omega^2A^2 \\ 2x^2 = A^2 \Rightarrow x = \frac A{\sqrt 2}\]

7.5 Circular Motion and SHM 圆周运动与简谐运动的关系

• 详见 AP Calculus BC 参数方程部分，即构造如下参数方程

\[\begin{cases} x = A\cos(\omega t) \\ y = A\sin(\omega t) \end{cases}\]

• 也就是说，两个简谐运动可以构成一个圆周运动

• 例题

  

  • 物理角度
    • 第一题，\(5\) 即 \(A\) ，振幅即半径，选 C
    • 第二题，\(v = \omega r = 3 \times 5 = 15\)
  • 数学角度
    • 第一题，参数方程消参，\(x^2 + y^2 = 5^2\)，选 C
    • 第二题，求导即求出 \(v_x(t)\)，\(v_y(t)\)，通过勾股定理，向量合成，\(\sqrt{(x'^2(t) + y'^2(t))} = 15\)

7.6 Vertical SHM 竖直简谐运动

• 将重力的影响直接看成一个新弹簧和新的平衡位置

7.7 Multiple Spring 多弹簧

• 对于 图像中 \(a\)，位移相同

\[k_1\Delta x + k_2 \Delta x = k_{eff} \Delta x \\ \Rightarrow k_{eff} = k_1 + k_2 \]

• 对于 图像 \(b, \; c\) 力相同 （积在和上飞）（鸡在河上飞）

\[\Delta x_{k1} + \Delta x_{k2} = \Delta x_{eff} \Leftrightarrow \frac F{k_1} + \frac F{k_2} = \frac F{k_{eff}} \\ \Rightarrow k_{eff} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}\]

7.7.1 Damped Motion 阻尼运动

• 阻尼运动通常来说我们可以通过一个二阶微分方程来表示

\[a\frac{dx^2}{d^2t} + bx = 0\]

• 只用掌握其特殊解

\[x = A\sin(\omega t + \phi), \;\; \omega = \sqrt{\frac ba}\]

7.8 Pendulum 单摆

• 通过受力分析，我们可以知道小球受到了 \(mg\sin(\theta)\) 的恢复力

• 通过牛顿第二定律，我们可以推导得到

\[F = ma = mg\sin(\theta) \\ mL\cdot\frac{d\theta^2}{d^2t} - mg\sin(\theta) = 0 \\ L\cdot\frac{d\theta^2}{d^2t} - g\sin(\theta) = 0\]

• 通过简单的证明我们可以得到 \(\sin (\theta) \approx \theta\)

\[{\displaystyle \sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta} \\ \Rightarrow {\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .} \]

• 然后可以很容易的发现这便是阻尼运动的特殊解

\[L\cdot\frac{d\theta^2}{d^2t} - g\sin(\theta) = 0 \Leftrightarrow a\frac{dx^2}{d^2t} + bx = 0 \\ \theta(t) = \theta_{max}\sin(\omega t + \phi), \;\; \omega = \sqrt{\frac gL} = 2\pi f\]

• 注意，上述公式基于 \(\theta \in [0, 10]\) 也就是 \(\theta\) 角是小角的情况下才成立

Gravitation 引力

8.1 Law of Universal Gravitation 万有引力定律

• 质量为 \(m_1\) 和 \(m_2\) 的任意两个点对象之间具有吸引力

\[F_G = -G\frac{m_1m_2}{r^2}\hat r\]

• 其中 \(G\) 是万有引力常数 \(G = 6.67 \times 10^{-11} N \cdot m^2/kg^2\)

8.2 Centripetal Force 向心力

• 两个小球如果存在吸引力，并且球不是椭圆，那么就可以看成圆周运动

• 例题

  

8.3 Gravitational Force 吸引力的性质

• \(G\) 几乎是可以被忽略的，吸引力是一个远程力，但是很小
• 只有球体可以看成一个点去求引力

8.4 Gravitational Acceleration 引力加速度

• 对于地球来说，我们可以将地球的重力加速度写成

\[F = G\frac{mM_E}{R_E^2}=m(\frac{GM_E}{R_E^2}) = ma \\ a = \frac{GM_E}{R^2_E}\]