Complex Number 复数

Algebra Form 代数表示

我们从原有的实数数轴上拓展出复数 \(z = a + bi\)，其中 \(i = \sqrt{-1}\)，\(a\) 为实部（Real Part），\(bi\) 为虚部（Imaginary Part）

对于任意复数我们有其在复平面上的坐标表示

Operation 运算

• 加减

\[ z_1 \pm z_2 = (a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i \]

• 乘除 (\(i^{2} = -1\))

\[ z_1 \cdot z_2 = (a + bi) \cdot (c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i \]

通过共轭复数，将分母实数化，以得到 \(z = a + bi\) 的形式

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^{2} + d^{2}} \]

Trigonometric Form 三角表示

若 \(z = a + bi\)，通过三角函数，我们可以表示出

\[ x = \left\vert z \right\vert \cos \theta, \;\; y = \left\vert z \right\vert \sin \theta \]

我们定义 \(\left\vert z \right\vert = r\) 称之为 \(z\) 的模长（Modulus）, \(\theta\) 是平面向量 \(\left< x, y \right>\) 的方向角，称为 \(z\) 的辐角（Argument）

于是我们有 \[ \begin{aligned} z &= a + bi \\ z &= r \cos \theta + r \sin \theta \cdot i \\ z &= r(\cos \theta + i \sin \theta ) \end{aligned} \]

Operation 运算

• 加减

\[ \begin{aligned} z_1 \pm z_2 &= r_1 \cos \theta_1 + r_1 \sin \theta_1 i \pm r_2 \cos \theta_2 + r_2 \sin \theta_2 i \\ &= (r_1 \cos \theta_1 \pm r_2 \cos \theta_2) + (r_1 \sin \theta_1 \pm r_2 \sin \theta_2) i \end{aligned} \]

• 乘除

\[ \begin{aligned} z_1z_2 &= r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \cdot r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \\ &= r_1 r_2 (\cos \theta_1 \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2) \\ &= r_1r_2[(\cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2) + i(\sin \theta_2 \cos \theta_1 + \sin \theta_1 \cos \theta_2)] \\ &= r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i(\sin(\theta_1 + \theta_2))] \end{aligned} \]

（最后几步使用到了后面会通过欧拉恒等式证明的三角恒等式）

\[ \frac{z_1}{z_2} = r_1r_2[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i(\sin(\theta_1 - \theta_2))] \]

所以我们会发现，代数表示加减运算更便捷，三角表示乘除运算更便捷

• 乘方与开方

棣莫弗公式（De Moivre’s Formula） \[ (\cos \theta + i \sin \theta)^{n} = \cos(n \theta) + i \sin(n \theta) \]

所以很自然我们有 \[ z^{n} = r^{n}(\cos (n \theta) + i \sin (n \theta)) \\ ~ \\ w = \cos \left( \frac{\theta + 2k \pi}{n} \right) + i \sin\left( \frac{\theta + 2k \pi}{n} \right), \quad k = 0, 1, \cdots , n - 1 \]

Complex Exponential Form 复指数表示

欧拉公式巧妙地联系了复指数表示和三角表示

\[ e^{i \pi} = \cos \theta + i \sin \theta \]

其本质思想可以理解为是将旋转 \(\theta\) ，和旋转多个拆分的 \(\mathrm{d} \theta\) 是相等的

若把 \(\theta\) 拆成 \(\frac{\theta}{n}\)，当 \(n \to \infty\) 时，我们可以得到旋转复数

这个过程其实我觉得有更好的理解方法，但是我太 🥬 想不出来（

\[ \begin{aligned} z &= r\left(\cos \frac{\theta}{n}+ i \sin \frac{\theta}{n}\right) \quad \color{blue} \text{only rotate, so } r = 1 \\[1em] &= 1 - \frac{\left( \frac{\theta}{n} \right) ^{2}}{2} + i \frac{\theta}{n} \quad \color{blue} \text{apply approx, when } \frac{\theta}{n} \text{ is very small} \\[1em] &= 1 + i \frac{\theta}{n} \quad \color{blue} \frac{\left( \frac{\theta}{n} \right) ^{2}}{2} \text{ will be very small to be ignored} \end{aligned} \]

所以当 \(n \to \infty\)，我们可以得到

\[ \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{\theta}{n} i \right)^{n} = \cos(\theta) + \sin(\theta) i \]

依据 \(e\) 的定义 $_{n } ( 1 + )^{n} $，我们可以定义在复数域上的 \(e^{z}\)

\[ e^{z} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{z}{n} \right)^{n} \]

然后代入

\[ \begin{aligned} \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{\theta}{n} i \right)^{n} &= e^{i \theta} \\[0.8em] e^{i \pi} &= \cos \theta + i \sin \theta \end{aligned} \]

• 由此我们可以一种全新的视角打开三角函数恒等式

To be continued…