Exponential Arithmetic 指数运算

$$\def\arraystretch{1.5} \begin{array} { c | c }\text{ Rule name} & \text{ Rule } \\ \hline \text{Product Rule} & a^m \times a^n = a^{ m + n } \\ & a ^n \times b^n = (a \times b)^ n \\ \hline \text{Quotient Rule} & a^n / a^m = a^ { n - m } \\ & a^n / b^n = (a/b) ^ n \\ \hline \text{Negative Exponent} & a^ {-n} = 1/a^n \\ \hline \text{Power Rule} & (a^n)^m = a^ { n \times m } \\ \hline \text{Tower Rule}& a ^ { n^ m } = a ^ { \left( n^ m \right) } \\ \hline \text{Fraction Rule} & a ^ {1/n} = \sqrt[n]{a } \\ & \sqrt[m]{ a^n} = a^ { n/m} \\ \hline \text{Zero Rule} & a^0 = 1 \\ & 0^ a = 0 \text{ for } a > 0 \\ \hline \text{One Rule} & a^1 = a \\ & 1^a = 1 \\ \end{array}$$

Logarithmic Arithmetic 对数运算

$$\begin{aligned} a^{\log_a (N)} &= N \\ \log_n (1) &= 0 \\[0.3em] \log_b(s) + \log_b(t) &= \log_b(st) \\[0.3em] \log_b(n)-\log_b(d)&=\log_b\left(\frac{n}{d}\right) \\[0.6em] p\times \log_b(m) &= \log_b(m^p) \\[0.6em] \log_a(b) = \frac{\log_c (b)}{\log_c (a)} \implies &\log_a(b) = \frac{1}{\log_b(a)} \end{aligned}$$

• 例题

$\text{(a)}$

$$\begin{aligned} \frac{1}{\log_4(x)} + \frac{1}{\log_5(x)} &= 1 \\[0.8em] \frac{\log_5 (4)}{\log_5(x)} + \frac{1}{\log_5(x)} &= 1 \\[0.8em] \frac{\log_5 (4) + 1}{\log_5(x)} &= 1 \\[0.8em] \log_5 (4) + 1 &= \log_5(x) \\[0.3em] \log_5(x) - \log_5 (4) &= 1 \\[0.3em] \log_5 \left( \frac{x}{4} \right) &= 1 \\[0.6em] \frac{x}{4} &= 5 \\[0.6em] x &= 20 \end{aligned}$$

$\text{(b)}$

$$\begin{aligned} \frac{\log_2(25)\log_3(16)\log_4(9)}{\log_4(3)\log_2(5)\log_3(4)} &= \frac{\log_2 (25) }{\log_2 (5)} \cdot \frac{\log_3 (16)}{\log_3 (4)} \cdot \frac{\log_4 (9)}{\log_4 (3)} \\[0.8em] &= \log_5 (25) \cdot \log_4(16) \cdot \log_3(9) \\[0.3em] &= 2^3 = 8 \end{aligned}$$

$\text{(c)}$

$$\begin{aligned} \log_4(x) + \log_4(x+6) = 2 \\ x^2 + 6x = 4^{2} \\ (x + 8)(x - 2) = 0 \\ x = -8, \; 2 \end{aligned}$$

其中 $x = -8 \notin \mathbb{R}^+$，不在 $\log$ 定义域中，所以 $x = 2 \text{ only}$

$\text{(d)}$

$$\begin{aligned} \big(\log_4(x)\big)^2 + \log_4\big(x^3\big) - 4 &= 0 \\[0.3em] \big(\log_4(x)\big)^2 + 3\log_4\big(x\big) - 4 &= 0 \\[0.3em] y^{2} + 3y - 4 &= 0 \quad \color{blue} \text{Define } y = \log_4(x) \\[0.3em] (y + 4)(y - 1) = 0 \\[0.3em] \log_4(x) = -4, \; 1 \\[0.3em] x = \frac{1}{256}, \; 4 \end{aligned}$$

$\text{(e)}$

$$\begin{aligned} \log_2(x) + \log_4(9) &= \log_2(12) \\[0.6em] \log_2(x) - \log_2(12) &= - \frac{\log_2 (9)}{\log_2 (4)} \\[0.6em] \log_2\left( \frac{x}{12} \right) &= - \frac{1}{2} \log_2 (9) \\[0.6em] \log_2\left( \frac{x}{12} \right) &= \log_2 \left( 9^{- \frac{1}{2}} \right) \\[0.6em] \frac{x}{12} &= \frac{1}{3} \\[0.6em] x &= 4 \end{aligned}$$

The Origin of $e$ 的起源

参考视频：3Blue1Brown - 【官方双语】微积分的本质 - 05 - 指数函数求导

当我们想对指数函数求导，比如 $f(t) = 2^{t}$，我们通过导数的定义，将其带入

$$f'(t) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(t+h) - f(t)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{2^{t+h} - 2^{t}}{h}$$

你会发现 $2^{t+h}$ 可以使得其从 $\lim$ 中，把 $t$ 拆出来，所以剩下的另外一部分就变成了常数

$$\lim\limits_{h \to 0} \frac{2^{t+h} - 2^{t}}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{2^{t}2^{h} - 2^{t}}{h} = 2^{t} \lim\limits_{h \to 0} \frac{2^{h} - 1}{h}$$

而在此时你会发现 $\lim$ 没法继续运算，尝试用数值逼近法发现它很像是一个像是 $0.693147\cdots$ 的常数，我们先将其按下不表。

而当你在继续尝试求导 $8^{x}, 16^{x}$ 都会遇到这样一个奇奇怪怪的常数，所以很自然的，我们会想要寻找到一个没有常数的指数函数的导数，也就是常数为 $1$ 的时候，底数 $x$ 为多少？

$$\lim\limits_{h \to 0} \frac{x^{t+h} - x^{t}}{h} = x^{t} \cdot 1$$

经过与上文相同的变换方法

$$\lim\limits_{h \to 0} \frac{x^{t+h} - x^{t}}{h} = x^{t} \lim\limits_{h \to 0} \frac{x^{h} - 1}{h} \implies \lim\limits_{h \to 0} \frac{x^{h} - 1}{h} = 1$$

那么是否存在这么一个数使得等式 $\lim\limits_{h \to 0} \frac{x^{h} - 1}{h} = 1$ 成立呢？当然有，那就是 $e = 2.71828\cdots$

或者更准确的说，使得等式 $\lim\limits_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h} = 1$ 成立，就是 $e$ 的定义，而 $e$ 是一个无理数，就像 $\pi$ 为什么就是圆的周长比上它的直径一样，因为这就是 $\pi$ 的定义，都是我们在变换的过程中会遇到的常数。

这也就是为什么 $e^{t}$ 的导数就是它自身，正是因为 $\lim\limits_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h} = 1$。

所以我们将原来的求导问题变成这样（其中 $\ln(a)$ 的定义就是「$e$ 的几次方等于 $a$」，所以 $e^{\ln(a)} = a$）

$$a^{t} = e^{\ln(a)t} \\ ~ \\ \left( a^{t} \right)' = \left( e^{\ln(a)t} \right)' \\ ~ \\ a^{t} \ln a = \ln a \cdot e^{\ln(a)t}$$

也就是我们通过把 $a^{t}$ 变成 $e^{\ln(a)t}$ 进而通过 Chain Rule 和 Power Rule 就可以得到 $a^{t}$ 的结果。

其实关于 $e$ 的定义有非常多种且互相和证明等价
包括常见的 $e := \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n}$
所有的定义以及等价证明可以参考 维基百科 - $e$ (数学常数)

Application of $\frac{\mathrm{d}e^{x}}{\mathrm{d}x} = e^{x}$ 性质的运用

放射性物质 $N(t)$ 的质量随着时间 $t$ 地衰减遵守如下方程

$$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -kN(t), \; k > 0$$

其半衰期（即衰减到一半物质所用的时间）为？

• 一阶 ODE 方法 $$\begin{aligned} \frac{\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}}{N(t)} &= -k\\ ~ \\ \int \frac{\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}}{N(t)} \; \mathrm{d}t &= \int -k \cdot \mathrm{d}t \quad \color{blue} \text{apply} \; \int \frac{u'}{u} \; \mathrm{d}x = \ln |u| + C \\ ~ \\ \ln (N(t)) &= -kt + C \quad \color{blue} \text{Mass} > 0 \\ ~ \\ N(t) &= ce^{-kt} \end{aligned}$$

写法上来说这种也是一样的

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}N}{N(t)} &= -k \cdot \mathrm{d}t \quad \color{blue} \mathrm{d}N = \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}\cdot \mathrm{d}t\\ ~ \\ \int \frac{\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}}{N(t)} \; \mathrm{d}t &= \int -k \cdot \mathrm{d}t \quad \color{blue} \text{apply} \; \int \frac{u'}{u} \; \mathrm{d}x = \ln |u| + C \\ ~ \\ \ln (N(t)) &= -kt + C \quad \color{blue} \text{Mass} > 0 \\ ~ \\ N(t) &= ce^{-kt} \end{aligned}$$

• 导数逆推方法

通过 Chain Rule 我们知道

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} e^{-kt} = e^{-kt} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(-kt) = -k e^{-kt}$$

如果我们从 $\pu{N_{0} g}$ 开始，

$$N(t) = N_0 e^{-kt}$$

$N(t)$ 就是在 $t$ 时刻还剩下多少物质质量，所以如果我们想知道半衰期是多少

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} N_0 &= N_0 e^{-kt} \\[0.6em] -kt &= \ln \left( \frac{1}{2} \right) \\[0.6em] t &= -\frac{1}{k} \ln \left( \frac{1}{2} \right) \end{aligned}$$

To be continued…